Теория узлов означает изучение вложений одномерных многообразий в трёхмерное евклидово пространство или в сферу S3. В более широком смысле предметом теории узлов являются вложения сфер в многообразия и вложения многообразий в целом.
В теории узлов число пересечений узла – это наименьшее число пересечений на любой диаграмме узла. Число пересечений является инвариантом узла. Например, тривиальный узел имеет нулевое число пересечений, число пересечений трилистника равно трём, а число пересечений восьмёрки равно четырём.
Узел же в математике – это вложение окружности (одномерной сферы) в трёхмерное евклидово пространство, рассматриваемое с точностью до изотопии. Он является основным предметом изучения теории узлов. Два узла топологически эквивалентны, если один из них можно деформировать в другой, причём в процессе деформации не должно возникать самопересечений.
Частным случаем является вопрос о распознавании тривиальности того или иного узла, то есть о том, является ли заданный узел изотопным тривиальному узлу (можно ли его развязать). Для определения того, является ли конкретный узел тривиальным, можно использовать различные инварианты узлов, например, многочлен Александера или фундаментальную группу дополнения.
Если выбрать систему координат в пространстве, то узел можно задать набором из трёх гладких периодических функций: х (и), у (u), z (u). Тогда кратко математические формулы узлов можно записать следующим образом:
Так получилось, что математики долго игнорировали узлы. Первым опубликовал работы на эту тему в конце XVIII века Александр Теофил Вандермонд, французский математик, известный главным образом благодаря работам по высшей алгебре, особенно по теории детерминантов.
В честь Вандермонда был назван специальный класс матриц – матрицы Вандермонда, а также элементарное равенство в комбинаторике – свёртка Вандермонда.
В начале XIX века наброски и расчёты узлов выполнил юный Гаусс. Тот самый Иоганн Карл Фридрих Гаусс, немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист, который считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». И только в XX веке математики всерьёз взялись за дело. Но вплоть до середины 80-х гг. теория узлов оставалась всего-навсего одной из ветвей топологии: достаточно разработанная, но интересующая лишь узкий круг специалистов (в основном немецких и американских). Сегодня отношение к теории узлов коренным образом изменилось. Узлы – точнее, математическая теория узлов – интересуют многих биологов, химиков, физиков и даже генетиков.
Интересно отметить, что первые серьёзные результаты математической теории узлов получены не математиком, а физиком – Уильямом Томсоном (более известным как лорд Кельвин). Точкой отсчёта была его идея сделать узел моделью атома. Моделью, которую впоследствии окрестили «атомом-вихрем» (vortexatom). Для построения теории материи с этой точки зрения необходимо было начинать с изучения узлов. Однако теория Кельвина не развилась и скоро была забыта, оставив, правда, в наследство ряд проблем («гипотезы Тейта»), которые физики тогда не смогли разрешить, но с которыми математики сумели разобраться спустя столетие.
Нельзя не упомянуть о фундаментальной связи между узлами и косами, открытой американцем Джоном Александером, спустя полвека после неудачного старта Кельвина. Алгебраическая теория кос, разработанная в своё время совсем еще юным немецким математиком Эмилем Артином (Emil Artin), более алгебраична, чем геометрическая теория узлов. Эта связь (геометрическая суть которой проста: «замыкание косы») позволила получить основной результат Александера: все узлы отталкиваются от кос. И поскольку классификация кос была быстро получена Артином, была сделана, конечно же, попытка вывести из неё классификацию узлов. Усилия в этом направлении не привели к цели, но породили ряд красивых результатов.
Существует также очень простая геометрическая конструкция, принадлежащая немецкому математику Курту Рейдемейстеру (Kurt Reidemeister). Эта идея позволяет свести изучение узлов в пространстве к изучению их проекций (так называемых диаграмм узлов) на плоскости. В итоге она привела учёного к теории катастроф, кодированию узлов и обработке узлов с помощью компьютера.
Известен также алгоритм, изобретённый соотечественником Рейдемейстера Вольфгангом Хакеном (Wolfgang Haken), который позволяет определить, можно или нельзя развязать данный узел. Но этот алгоритм очень сложный. Дело в том, что иногда, чтобы распутать узел, нужно сначала его ещё больше запутать. Вот пример тривиального узла, который не упрощается (его можно развязать, только увеличив сначала число перекрёстков):
Тривиальный неупрощаемый узел
Нужно сказать, что в дальнейшем придумывание плохо распутываемых тривиальных узлов стало важной частью исследований алгоритмов распутывания. На рисунке показан особенно яркий пример узла такого типа (очень трудного для распутывания, и потому не случайно названного Гордиевым).
«Гордиев узел» Вольфганга Хакена
Применяется в науке также и термин «арифметика узлов». Основная теорема арифметики узлов (существование и единственность разложения узла на простые множители) была доказана в 1949 г. немцем Хорстом Шубертом (Horst Schubert). Подозрительное сходство между множеством узлов, наделённым операцией композиции (которая состоит, просто-напросто, в завязывании узлов последовательно один за другим), и множеством натуральных чисел с операцией умножения – породила различные надежды. Например, не являются ли узлы не чем иным, как геометрическим кодированием чисел, не сведётся ли классификация узлов к банальному пересчёту. К счастью, эти сомнения математиков были вскоре развеяны.
Весьма интересно и полезно изобретение, на первый взгляд тривиальное, англо-американца Джона Конвея (John Conway), одного из наиболее оригинальных математиков прошлого века. Речь идёт о новых небольших геометрических операциях над диаграммами узлов. В отличие от операций Рейдемейстера, они позволяют изменять не только вид диаграммы узла, но также и тип узла, а иногда преобразовывают его в зацепление. С их помощью можно определять и вычислять полином Александера-Конвея узла (или зацепления). Эти операции дают очень удобный и достаточно эффективный метод доказательства того, что два узла имеют разный тип и, в частности, что некоторые узлы не могут быть развязаны.
И все-таки, на мой взгляд, больше всего читателей может заинтересовать не этот метод, а биологическое отступление, в котором объясняется, что операции Конвея описывают действие топоизомераз (недавно открытых особых ферментов) на молекулярном уровне. Мне как человеку, активно увлекающемуся ДНК-генеалогией (по сути «молекулярной историей»), буквально недавно написавшему книгу «Древнейшая история Пензенского края: мифы и реальность», где история рассматривается с точки зрения именно новейших исследований ДНК-генеалогии, было особенно интересно самому вникнуть в эту тему и познакомить с ней моих читателей.
Как известно, ДНК состоит из 46 хромосом (23 пары). Все 46 хромосом в итоге состоят из 3 миллиардов нуклеотидов (или нуклеотидных пар), и в их составе находятся примерно 30 тысяч генов. Стало быть, в среднем на одну хромосому приходится 65 миллионов нуклеотидов и 652 гена. Автор множества книг по генеалогии, учёный с мировым именем, доктор химических наук, профессор Гарвардского университета и основатель науки ДНК-генеалогии Анатолий Клёсов в 2006 году ввел термин «ДНК-генеалогия» для изучения мужской Y-хромосомы. При этом точно известно, что в Y-хромосоме содержится 58 миллионов нуклеотидов и всего 40 генов. ДНК-генеалогия рассматривает закономерности наследования изменений нерекомбинантных (негенных) участков ДНК человека в ходе его эволюции на шкале времени от десятков и сотен лет до миллионов лет. Другими словами, ДНК-генеалогия изучает динамику накопления мутаций в ДНК человека, используя подходы химической и биологической кинетики, которые в свою очередь являются частью физической химии. Важнейшая особенность методологии ДНК-генеалогии – определение констант скоростей мутаций в ДНК (в первую очередь в тандемных повторяющихся последовательностях Y-хромосомы, так называемых маркерах, которых, по оценкам, имеется примерно 2500, а также накопления снипов (необратимых мутаций в ДНК) и приложение этих констант к расчётам хронологии древних событий – древних миграций человека, времён жизни общих предков изучаемых популяций.
Вот как сам Анатолий Клёсов определяет суть основополагающих понятий ДНК-генеалогии и, в частности, её прикладной науки – молекулярной истории: «Суть понятия молекулярной истории втом, что становится возможнымсле-дить за передвижениями древних народов не с помощью лопаты и кисточки археолога, не обмеряя черепа, не хитроумно расплетая созвучия и значения слов в живых и мёртвых языках, не изучая древние фолианты в библиотеках и монастырях, а прослеживая за метками в Y-хромосомах наших ДНК. Они, эти метки, не могут «ассимилироваться», или «поглотиться» другими языками, культурами или народами, как это происходит тысячелетиями с языками, культурами, народами в рамках понятий истории, лингвистики, этнографии, антропологии. Иначе говоря, методология новой исторической науки, «молекулярной истории», или ДНК-генеалогии, основывается на изучении молекул нуклеиновых кислот, а именно ДНК, дезоксирибонуклеиновой кислоты, в человеческих организмах, как живых, так и в древних костных останках. То, что еще несколько лет назад казалось каким-то развлечением, оказалось, даёт истории, антропологии, археологии, лингвистике возможность проверить концепцию, рассмотреть данные под принципиально другим углом, связать воедино, казалось бы, разрозненные части общей картины наших знаний об окружающем мире».
ebooksa