Это определение заслуживает некоторого внимания, так как оно имеет особенную природу, отличающую его от определения чисто логического; в самом деле, равенство (1) содержит бесчисленное множество различных определений, и каждое из них имеет смысл только тогда, когда известно другое, ему предшествующее.
Свойства сложения. Ассоциативность. Я утверждаю, что
а + (b + с) = (а + b) + с.
В самом деле, теорема справедлива для c = 1; в этом случае она изображается равенством
а + (b + 1) = (a + b) + 1.
А это – помимо различия в обозначениях – есть не что иное, как равенство (1), при помощи которого я только что определял сложение.
Предположим, что теорема будет справедлива для с = γ; я говорю, что она будет справедлива и для c = γ + 1; пусть, в самом деле,
(а + b) + γ = а + (b + γ);
отсюда следует
[(a + b) + γ] + l = [a + (b + γ)] + l
или в силу определения (1)
(а + b) + (γ + l) = a + (b + γ + 1) = a + [b + (γ + 1)],
а это показывает с помощью ряда чисто аналитических выводов, что теорема верна для γ + 1.
Но так как она верна для с = 1, то последовательно усматриваем, что она верна для с = 2, для с = 3 и т. д.
Коммутативность. 1. Я утверждаю, что
a + 1 = 1 + a.
Теорема, очевидно, справедлива для а = 1 путем чисто аналитических рассуждений можно проверить, что если она справедлива для а = γ, то она будет справедлива для а = γ + 1; но раз она справедлива для а = 1, то она будет справедлива и для а = 2, для а = 3 и т. д.; это выражают, говоря, что высказанное предложение доказано путем рекурренции.
2. Я утверждаю, что
a + b = b + a.
Теорема только что была доказана для b = 1; можно аналитически проверить, что если она справедлива для b = β, то она будет справедлива для b = β + 1.
ebooksa