Теорема века. Мир с точки зрения математики

Таким образом, предложение доказано путем рекурренции.

Определение умножения. Мы определим умножение при помощи равенств

a × 1 = a

a × b = [a × (b − 1)] + a. (2)

Равенство (2), как и равенство (1), заключает в себе бесчисленное множество определений; после того как дано определение а × 1, оно позволяет определить по следовательно а × 2, а × 3 и т. д.

Свойства умножения. Дистрибутивность. Я утверждаю, что

(а + b) × с = (а × с) + (b × с).

Мы проверяем аналитически справедливость этого равенства для с = 1; а потом проверяем, что если теорема справедлива для с = γ, то она будет справедлива и для с = γ + 1.

Предложение опять доказано рекурренцией.

Коммутативность. 1. Я утверждаю, что

a × 1 = 1 × a.

Теорема очевидна для а = 1.

Проверяем аналитически, что если она справедлива для а = α, то она будет справедлива и для а = α + 1.

2. Я утверждаю, что

a × b = b × a.

Теорема только что была доказана для b = 1. Аналитически проверяем, что если она справедлива для b = β, то она будет справедлива и для b = β + 1.

IV

Здесь я прерываю этот монотонный ряд рассуждений. Но именно эта монотонность и способствовала лучшему выделению того однообразного процесса, который мы находим на каждом шагу.

Этот процесс есть доказательство путем рекурренции. Сначала формулируется теорема для n = 1; потом доказывается, что если она справедлива для n − 1, то она справедлива и для n, и отсюда выводится заключение о справедливости ее для всех целых чисел.

Мы только что видели, как можно воспользоваться этим для доказательства правил сложения и умножения, т. е. правил алгебраического вычисления; это вычисление есть орудие преобразования, которое применяется в гораздо большем числе разнообразных комбинаций, чем простой силлогизм; но это орудие еще чисто аналитическое, оно не способно научить нас ничему новому. Если бы математика не имела ничего другого, она тотчас же остановилась бы в своем развитии; но она получает новое средство в том же процессе, т. е. в рассуждении путем рекурренции, и потому может непрерывно продолжать свое поступательное движение.

В каждом шаге, если его хорошенько рассмотреть, мы находим этот способ рассуждения – или в той простой форме, которую мы только что ему придали, или в форме более или менее видоизмененной.