Понселе был одним из самых интуитивных умов в этом веке; он был страстным интуитивистом и чуть ли не гордился этим; он видел в принципе непрерывности одну из самых смелых своих концепций, и однако этот принцип не покоился на свидетельстве чувств – уподоблять гиперболу эллипсу было скорее противоречием этому свидетельству. Здесь имело место лишь какое-то поспешное инстинктивное обобщение, что, впрочем, я не хочу отстаивать.
Итак, мы имеем несколько родов интуиции; сначала обращение к чувствам и воображению; затем обобщение посредством индукции, так сказать, срисованное с приемов экспериментальных наук; Наконец, мы имеем интуицию чистого числа, ту интуицию, из которой вышла вторая из только что приведенных мною аксиом и которая может дать начало настоящему математическому умозаключению.
Две первые не могут дать достоверности, выше я показал это на примерах; но кто станет серьезно сомневаться относительно третьей, кто станет сомневаться в арифметике?
В новейшем анализе, – если пожелаем взять на себя труд быть строгими, – находят место лишь силлогизмы и обращения к этой интуиции чистого числа, единственной интуиции, которая не может обмануть нас. Можно сказать, что ныне достигнута абсолютная строгость.
Философы приводят еще другое возражение: «То, что вы выигрываете в строгости, – говорят они, – вы теряете в объективности. Вы можете подняться к вашему логическому идеалу, только порвав те связи, которые соединяют вас с реальностью. Ваша наука непогрешима, но она может оставаться такою, только замыкаясь в свою раковину и запрещая себе всякое сношение с внешним миром. При малейшем же применении ей надо выходить оттуда».
Я хочу, например, доказать, что такое-то свойство принадлежит такому-то объекту, понятие которого кажется мне сначала неопределимым, потому что оно интуитивно. Я сначала затрудняюсь или бываю должен удовлетвориться приближенными доказательствами; наконец, я решаюсь дать моему объекту точное определение – то, которое позволяет мне установить это свойство безукоризненным образом.
«Что же после, – говорят философы, – ведь остается еще доказать, что отвечающий этому определению объект есть тот же самый, который открыт вам интуицией; или еще, что такой-то реальный и конкретный объект, сходство которого с вашей интуитивной идеей вы думаете узнать непосредственно, отвечает вашему новому определению. Только тогда вам будет можно утверждать, что он имеет данное свойство. Вы только переместили затруднение».
Это неточно; затруднение не перемещено, оно разделено. Предложение, которое нужно было обосновать, в действительности состояло из двух различных истин, которые не сразу были отличены друг от друга. Первая – математическая истина, и теперь она строго обоснована. Вторая – истина экспериментальная. Только опыт может научить нас, что такой-то реальный, конкретный объект отвечает или не отвечает такому-то абстрактному определению. Эта вторая истина не доказывается математически, но она и не может доказываться, точно так же, как не могут доказываться эмпирические законы физических и естественных наук. Было бы безрассудно требовать большего.
Но разве не большой шаг вперед – различить то, что долгое время неправильно смешивали?
Не значит ли это, что нужно совсем откинуть это возражение философов? Этого я не хочу сказать; сделавшись строгой, математическая наука получает искусственный характер, который поражает всех; она забывает свое историческое происхождение; видно, как вопросы могут разрешаться, но уже не видно больше, как и почему они ставятся.
Это указывает нам на то, что недостаточно одной логики; что наука доказывать не есть еще вся наука и что интуиция должна сохранить свою роль как дополнение – я сказал бы, как противовес или как противоядие логики.
Я уже имел случай указать то место, какое должна иметь интуиция в преподавании математических наук. Без нее молодые умы не могли бы проникнуться пониманием математики; они не научились бы любить ее и увидели бы в ней лишь пустое словопрение; без нее особенно они никогда не сделались бы способными применять ее.
Но теперь я хотел бы говорить прежде всего о роли интуиции в самой науке. Если она полезна для студента, то она еще более полезна для творческого ума ученого.
Мы ищем реальность, но что такое реальность?
Физиологи учат нас, что организмы образуются из клеточек; химики прибавляют, что сами клеточки образуются из атомов. Значит ли это, что эти атомы или клеточки составляют реальность или по крайней мере единственную реальность? Тот типичный способ, по которому упорядочиваются эти клеточки и который порождает единство индивидуума, не есть ли также реальность, гораздо более интересная, чем реальность отдельных элементов, и стал ли бы думать какой-нибудь натуралист, что он достаточно знает слона, если бы он всегда изучал это животное только под микроскопом?
Но в математике есть нечто аналогичное. Логик, так сказать, разлагает каждое доказательство на множество элементарных операций; когда рассмотрят одну за другой эти операции и констатируют, что каждая из них правильна, можно ли думать, что понят истинный смысл доказательства? Поймут ли его даже тогда, когда напряжением памяти будут в состоянии повторить это доказательство, воспроизведя все эти элементарные операции в том же порядке, в каком их разместил изобретатель?
Очевидно, нет, мы еще не овладеем всецело реальностью; то нечто, что создает единство доказательства, совсем ускользнет от нас.
Чистый анализ предоставляет в наше распоряжение много приемов, гарантируя нам их непогрешимость; он открывает нам тысячу различных путей, которым мы смело можем вверяться; мы уверены, что не встретим там препятствий; но какой из всех этих путей скорее всего приведет нас к цели? Кто скажет нам, какой следует выбрать? Нам нужна способность, которая позволяла бы видеть цель издали, а эта способность есть интуиция. Она необходима для исследователя в выборе пути, она не менее необходима и для того, кто идет по его следам и хочет знать, почему он избрал его.
Если вы присутствуете при шахматной партии, чтобы понять ее, вам недостаточно будет знать правила ходов фигур. Это только позволило бы вам знать, что каждый ход сделан по правилам игры, а это преимущество, конечно, не имело бы большой цены. Однако в таком положении был бы читатель математической книги, если бы он был только логиком. Совсем другое дело – понимать партию; это значит знать, почему игрок выдвигает одну фигуру раньше другой, которую он мог бы подвинуть, не нарушая правил игры. Это значит подметить скрытую мысль, которая делает из этого ряда последовательных ходов нечто вроде организованного целого. Тем более эта способность необходима для самого игрока, т. е. для изобретателя.
Оставим это сравнение и вернемся к математике. Посмотрим, что произошло, например, с идеей непрерывной функции. Вначале это был только чувственный образ, например образ непрерывной черты, проведенной мелом на черной доске. Потом мало-помалу она стала очищаться: скоро воспользовались ею для построения сложной системы неравенств, которая воспроизводила, так сказать, все черты первообраза; когда это построение было окончено, тогда освободили ее от «строительных лесов», отбросив то грубое представление, которое служило ей некоторое время подпорой, а теперь стало бесполезным; не осталось больше ничего, кроме самого построения, безупречного в глазах логика. Однако же если бы первообраз совершенно исчез из нашей памяти, как бы мы угадали, по какой прихоти были построены так, одно за другим, эти неравенства?
ebooksa