Все о морских узлах

Используя методы статистической физики, мы показали, что у РНК (рибонуклеиновой кислоты) есть оптимальный алфавит, в котором число букв «близко к 4».

«Глобула» – это стандартное название конденсированного состояния молекулы, длинной макромолекулы, а «фрактальное» – на самом деле, так ее назвали американцы. Мы её назвали «складчатая». От слова «складка». «Фрактальная» – может быть, менее правильно, но вызывает большие ассоциации. «Складчатая» – не очень понятно, к чему апеллировать, а «фрактальная» – ну, уже понятно, где искать.

В 1990-х годах узлами как статистическими объектами мало кто занимался. В этом смысле мы были фактически первыми, после Франк-Каменецкого, который с соавторами и является родоначальником области «вероятностная топология». Мы это подхватили. До этого задач, которые лежали бы на стыке теории вероятностей и некоммутативной геометрии и топологии, не было.

Максим Франк-Каменецкий со своей командой впервые высчитал вероятность того, что случайный полимер незаузлен, используя численные методы и элементы алгебраической топологии. Нам удалось аналитически как-то пробиться, несколько изменив постановку задачи, во всяком случае, удалось понять, что за этим стоит. Сказать, что мы сильно опередили время, тоже, наверное, трудно, потому что всё то, что было написано, мог сделать любой математик. Но мы попали в «зазор» между теорией вероятности, физикой полимеров и топологией, который на тот момент никем не был обследован. Кроме того, не было эксперимента, который бы все это подтвердил… короче, очередная гипотеза.

Если бы не замечательная работа группы американских биофизиков из Гарварда и MIT, которые фактически в прямом эксперименте измерили фрактальную размерность

ДНК в хромосоме с помощью так называемой Hi-С техники (genome wide chromosome conformation capture method), то вряд ли сейчас вы спрашивали бы меня о нашей деятельности…

В последние годы интерес к вероятностной топологии сильно вырос, потому что есть разнообразные практические приложения всей этой деятельности. Можно попытаться специальным образом приготовить полимерную сетку, т. е. фактически резину, которая, возможно, будет обладать необычными упругими свойствами. Такие эксперименты начинались в MIT в 1991 году, но потом человек, который это делал, умер. И вместе с ним умерли эти эксперименты. Сейчас в Страсбурге мы попытались как-то возродить интерес к этому. Может быть, удастся синтезировать специальные полимерные сетки, и изучить их упругие свойства…

Н. Д.: Я вас переспрошу: чем состоит суть вашей гипотезы, применительно к ДНК или к белкам? Что вам удалось показать или предсказать?

С.Н.: Собственно, главный вопрос был такой: почему каждый кусок цепочки ДНК имеет лёгкий доступ? Почему мы можем из очень плотной «глобулярной» структуры практически безболезненно вытащить любую петлю, а потом её обратно туда засунуть? В принципе, эта структура могла бы быть «кинетически запертой», т. е. она могла сформироваться, но в силу того, что у неё очень медленная динамика, она долго жила бы в таком метастабильном состоянии, но потом всё равно свернулась бы во что-нибудь другое. Так вот, оказывается, и в этом, наверное, пафос всей нашей деятельности, что эта складчатая структура без узлов, при том что она выглядит очень неестественно, напряжённо, является энергетически равновесной. Она никуда не релаксирует, это её энергетический минимум. Поэтому даже если мы попытаемся как-то нарушить её структуру, скажем, попытаемся взять и насильно продеть одну нить в другую, этот квази-узел распутается через какое-то время. Хочется верить, что очень многие биологические свойства следуют из этой микроскопической структуры, которую мы попытались описать.

Эксперимент в Гарварде строился так: взяли ДНК, которая находится в хромосоме – я рассказываю на пальцах – заморозили её в фиксаторе, в результате получилась карта, где какие-то фрагменты оказались в пространстве рядом друг с другом. Нарезав эти фрагменты и посмотрев, сколько их, наши коллеги смогли построить такую матрицу, где на пересечении i-той строки и j-го столбца стоит число. Это число – доля фрагментов, которые вдоль цепи (по ДНК) удалены друг от друга на расстояние |i-j|. Анализируя эту карту, можно понять, как связаны длина фрагмента ДНК с его пространственным размером. Оказалось, что она полностью согласуется именно с той структурой, которую мы предложили в своё время.

Н.Д.: Интересно! А это какая область математики?

С.Н.: Эту область можно назвать вероятностной или статистической топологией. Вообще-то, низкоразмерная топология – это наука об узлах, о том, как построить характеристику узла, определить топологические инварианты. Можно задать вопрос такой: допустим, что мы всё это знаем. Спрашивается: зная это и зная, как, например, этот узел флуктуирует в пространстве, как много окажется узлов данного типа? Например, как часто случайным образом узел оказывается распутанным?

Н. Д.: А почему, когда наушники кладёшь в сумку, они всё время запутываются?

С.Н.: Наушники – это «от лукавого», потому что там есть упругость. Я отвечу совершенно, может быть, неожиданно, немного на другой вопрос. Если вы спросите, почему кошка, играя с клубком ниток, всегда его запутывает и никогда не распутывает, то ответ будет такой: потому что узлы живут в неевклидовом пространстве. Наше пространство – плоское, а там, где живут узлы, есть кривизна. Из-за присутствия кривизны все случайные траектории с подавляющей вероятностью уходят от начальной точки. Расстояние в этом пространстве есть сложность узла. Чем ближе вы подошли к начальной точке, тем узел проще, чем дальше ушли, тем узел сложнее.

Мы сейчас занимаемся вопросами, связанными со сравнением молекул РНК… Мы тесно сотрудничаем с лабораторией Леонида Мирного из MIT, он, кстати, выпускник МИФИ. Эта лаборатория, пожалуй, один из ключевых игроков в области биофизических аспектов структуры хромосом. Матрицы, которые они получают, часто похожи на шахматную доску, на фоне которой проявляются квадратики, а в них – квадратики поменьше, а в них – еще квадратики поменьше. И эта структура указывает на то, что, может быть, для описания этих структур можно использовать математический язык, который называется р-адическая математика.

Каждый язык приспособлен для чего-то определённого. Например, мы хотим понять, как устроен некоторый звуковой ряд. Что мы делаем? Мы делаем преобразование Фурье и смотрим, какие частоты присутствуют. Точно также р-адический анализ приспособлен для выделения иерархической структуры блоков, каждый из которых является не волной, а вейвлетом. Вейвлет – «волнушка» по-русски. Кажется, так её когда-то назвал В.И. Арнольд. От слова «волна». Ну, и есть соответствующий язык, который позволяет удобно анализировать такие объекты с явной иерархической структурой. Вот, собственно, это мы и пытаемся сейчас сделать. Гарантии, что получится – нет. Но попробовать очень интересно.

Я сам вряд ли стал бы этим заниматься, я не очень хорошо знаю эту область, но есть очень хороший биофизик из Института химической физики РАН, В.А. Аветисов, который вместе с коллегами из московской Стекловки довольно давно занимается р-адической математикой в применении к низкотемпературной динамике белков. Возможно, что этот язык удастся использовать естественным образом теперь и в совершенно другой области.

Н.Д.: Но это реально супер-открытие?

С.Н.: Наташ, я не знаю. Ну, как может человек сам сказать про своё собственное научное детище, что это великая вещь…

Н.Д.: Вы не задумывались о написании научно-популярной книги?