Теорема века. Мир с точки зрения математики

Может явиться искушение поверить, что это и в самом деле так, потому что в последнее время пытались измерить их, и был даже сформулирован закон, известный под именем закона Фехнера, по которому ощущение пропорционально логарифму раздражения.

Но если ближе присмотреться к опытам, которыми пытались обосновать этот закон, то можно прийти к совершенно противоположному заключению. Например, было замечено, что вес А, равный 10 граммам, и вес В, равный 11 граммам, производят тождественные ощущения, что вес В нельзя отличить от веса С, равного 12 граммам; но что вес А можно легко отличить от веса С. Таким образом, непосредственные результаты опыта могут быть выражены следующими соотношениями:

А = В, В = С, А < С,

которые можно рассматривать как формулу физической непрерывности. Эта формула заключает в себе недопустимое разногласие с законом противоречия; необходимость избежать его и заставила нас изобрести идею математической непрерывности.

Итак, необходимо заключить, что это понятие всецело создано разумом, но что опыт доставил ему повод для этого.

Мы не можем допустить, что два количества, равные одному и тому же третьему, не равны между собой; и это обстоятельство вынуждает нас предположить, что А отличается от В и В от С, но несовершенство наших чувств не позволило нам этого заметить.

Создание математической непрерывности. Первая стадия. До сих пор, чтобы изобразить действительность, нам достаточно было бы вставить между А и В небольшое число отдельных членов. Но что произойдет, если мы для возмещения несовершенства наших чувств прибегнем к какому-нибудь инструменту, например, если мы воспользуемся микроскопом? Члены A и В, которых ранее мы не могли отличить друг от друга, теперь нам представятся различными; но между A и В, которые стали различимыми, поместится новый член D, который мы не будем в состоянии отличить ни от A, ни от В. Несмотря на употребление самых совершенных методов, непосредственные результаты нашего опыта будут всегда сохранять свойства физической непрерывности с присущим ей противоречием.

Мы освободимся от этого противоречия только тем, что будем беспрестанно помещать новые члены между членами, уже различенными, и эта операция должна будет продолжаться до бесконечности. Мы могли бы подумать, что она будет остановлена, если мы представим себе некое орудие, достаточно мощное для разложения физической непрерывности на раздельные элементы, подобно тому как телескоп разлагает Млечный Путь на звезды. Но мы не можем так думать. В самом деле, инструментами мы пользуемся всегда при помощи наших чувств; так, увеличенное микроскопом изображение мы рассматриваем нашим глазом, следовательно, оно должно всегда сохранять характер зрительного ощущения, а потому сохранять и характер физической непрерывности.

Длина, рассматриваемая непосредственно, ничем не отличается от половины этой длины, удвоенной микроскопом. Целое однородно с частью; здесь заключается новое противоречие, или скорее это было бы противоречием, если бы число членов предполагалось конечным; в самом деле, ясно, что часть, которая содержит менее членов сравнительно с целым, не может быть подобной целому.

Противоречие снимается лишь тогда, когда число членов рассматривается как бесконечное; ничто, например, не мешает рассматривать совокупность целых чисел подобной совокупности четных чисел, которая представляет собою, однако, только часть всего ряда; в самом деле, каждому целому числу соответствует в этом ряду одно четное число, которым является то же число, увеличенное вдвое.

Однако разум приходит к созданию понятия о непрерывном, образованном из бесконечного числа членов, не только для того, чтобы избавиться от этого противоречия, содержащегося в эмпирических данных.

Дело обстоит совершенно так же, как для ряда целых чисел. Мы обладаем способностью понять, что единица может быть прибавлена к собранию единиц; благодаря опыту мы имеем повод упражнять эту способность и сознавать ее; но с этого момента мы чувствуем, что наше могущество не имеет предела и что мы могли бы считать бесконечно, хотя бы и имели для счета всегда только конечное число предметов,

Точно так же, как только мы пришли к идее поместить между двумя последовательными членами некоторого ряда промежуточные члены, мы пришли к выводу, что эта операция может быть продолжена беспредельно и что нет, так сказать, никакого существенного основания для остановки.

Я позволю себе упростить речь, назвав математической непрерывностью первого порядка всякую совокупность членов, образованных по тому же закону, что и последовательность соизмеримых чисел. Если мы затем поместим в ней новые промежуточные члены, следуя закону образования несоизмеримых чисел, мы получим то, что мы назовем непрерывностью второго порядка.

Вторая стадия. До сих пор мы сделали только первый шаг: мы объяснили происхождение непрерывностей первого порядка; теперь надо убедиться, почему их было еще недостаточно и почему понадобилось изобретать несоизмеримые числа.

Если мы хотим представить себе линию, то это возможно сделать, только пользуясь свойствами физической непрерывности; т. е. ее можно представить себе не иначе, как обладающей некоторой шириной. Две линии явятся для нас тогда в форме двух узких полос, и если удовольствоваться этим грубым изображением, то очевидно, что при пересечении две линии будут иметь общую часть.

Но чистый геометр делает еще одно усилие: не отказываясь совершенно от помощи своих чувств, он хочет дойти до понятия линии без ширины, точки без протяжения. Он может достичь этого, только рассматривая линию как предел, к которому стремится полоса, все более и более суживающаяся, и точку – как предел, к которому стремится площадь, все более и более уменьшающаяся. Тогда наши две полосы, как бы узки они ни были, всегда будут иметь общую площадь, тем меньшую, чем меньше будет их ширина, и пределом ее будет то, что чистый геометр называет точкой.

Вот почему говорят, что две пересекающиеся линии имеют общую точку, и эта истина представляется интуитивной.

Но она содержала бы противоречие, если бы понимать линии как непрерывности первого порядка, т. е. если на линиях, проводимых геометром, должны находиться только точки, координаты которых – рациональные числа. Противоречие станет очевидным, лишь только установят, например, существование прямых и кругов.

В самом деле, ясно, что если бы в качестве действительных рассматривались только точки с соизмеримыми координатами, то круг, вписанный в квадрат, и диагональ этого квадрата не пересекались бы, потому что координаты точки их пересечения несоизмеримы.