Теорема века. Мир с точки зрения математики

Я намерен рассматривать две определенные таким образом точки M и N как соответствующие друг другу. Что дает мне право на это? Для того чтобы это соответствие было допустимо, нужно, чтобы при существовании тождества двух точек M и М’, соответствующих в первом пространстве рядам Σ и Σ’, было также тождество двух соответствующих точек N и N’ второго пространства, т. е. тождество двух точек, соответствующих двум рядам S + Σ + S’ и S + Σ’ + S’. И мы сейчас увидим, что это условие выполнено.

Сделаем сначала одно замечание. Так как S и S’ взаимно обратимы, то S + S’ = 0, следовательно,

S + S’ + Σ = Σ + S + S’ = Σ,

или еще

Σ + S + S’ + Σ’ = Σ + Σ’;

но из этого не следует, чтобы S + Σ + S’ = Σ, потому что, хотя мы и воспользовались знаком сложения для того, чтобы представить последовательность наших ощущений, однако ясно, что порядок этой последовательности не безразличен; поэтому мы не можем, как в обыкновенном сложении, менять порядок членов; короче говоря, наши операции ассоциативны, но не коммутативны.

Если так, то для того, чтобы Σ и Σ’ соответствовали той же самой точке М = М’ первого пространства, необходимо и достаточно, чтобы Σ’ = Σ + σ тогда будем иметь

S + Σ’ + S’ = S + Σ + σ + S’ = S + Σ + S’ + S + σ + S’.

Но мы только что констатировали, что S + σ + S’ есть один из рядов σ’. Следовательно, получим

S + Σ’ + S’ = S + Σ + S’ + σ’,

а это значит, что ряды S + Σ’ + S’ и S + Σ + S’ соответствуют одной и той же точке N = N’ второго пространства, что и требовалось доказать.

Итак два наших пространства соответствуют друг, другу, точка – точке; они могут быть «преобразованы» одно в другое; они изоморфны; как мы пришли к заключению об их тождестве?

Рассмотрим два ряда σ и S + σ + S’ = σ’. Я сказал, что часто, но не всегда, ряд σ сохраняет осязательное впечатление A, испытываемое пальцем D; а также часто (но не всегда) бывает, что ряд σ’ сохраняет осязательное впечатление A’, испытываемое пальцем D’. И я констатирую, что очень часто (т. е. гораздо чаще, чем то, что я сейчас назвал «часто») бывает, что если ряд σ сохранил впечатление A пальца D, то ряд σ’ сохраняет в то же самое время впечатление A’ пальца D’; и обратно – что если первое впечатление изменилось, то изменилось и второе. Это бывает очень часто, но не всегда.

Мы объясняем этот экспериментальный факт, говоря, что неизвестный предмет a, который вызывает ощущение A в пальце D, тождествен с неизвестным предметом a’, который вызывает ощущение A’ в пальце D’. И в самом деле, когда первый предмет шевелится, о чем нам дает знать исчезновение впечатления A, второй также шевелится, потому что впечатление A’ также исчезает. Когда первый предмет остается неподвижным, неподвижным остается и второй предмет. Если эти два предмета тождественны, то – так как первый находится в точке M первого пространства, второй же в точке N второго пространства, – это значит, что эти две точки тождественны. Вот как мы пришли к представлению о тождества этих двух пространств; или – лучше – вот что мы хотим сказать, когда говорим, что они тождественны. Сказанное только что о тождестве двух тактильных пространств избавляет нас от исследования вопроса о тождестве тактильного пространства и пространства визуального, так как он рассматривался бы тем же самым способом.

5. Пространство и эмпиризм

Можно подумать, что я скоро дойду до заключений, согласных с идеями эмпириков. Действительно, я старался изложить роль опыта и проанализировать те экспериментальные факты, которые оказывают влияние на происхождение пространства трех измерений. Но какова бы ни была важность этих фактов, есть одно обстоятельство, которого нам не следует забывать и на которое, впрочем, я не один раз обращал внимание. Эти экспериментальные факты сбываются часто, но не всегда. Очевидно, это не значит, что пространство часто, но не всегда имеет три измерения.

Я хорошо знаю, что легко отделаться от этого; если факты не подтверждаются, то это легко объяснить тем, что внешние предметы не остались неподвижными. Если опыт удается, то говорят, что он дает нам сведения о пространстве; если он не удается, то сваливают вину на внешние предметы, говоря, что они не остались неподвижными; другими словами, если он не удается, то применяют искусственный прием.

Эти ухищрения законны; я вполне согласен с этим; но раз они есть, то мы знаем, что свойства пространства не суть экспериментальные истины в собственном смысле этого слова. Если бы мы захотели оправдать другие законы, то могли бы также достигнуть этого, пользуясь другими аналогичными ухищрениями. Разве мы не могли бы всегда оправдывать эти ухищрения теми же самыми доводами? В крайнем случае нам могли бы сказать: «ваши ухищрения, без сомнения, законны, но вы злоупотребляете ими; к чему так часто заставлять двигаться внешние предметы?»

Словом, опыт не доказывает нам, что пространство имеет три измерения; он доказывает, что удобно приписывать ему три измерения, потому что именно таким образом число ухищрений сводится к минимуму.

Прибавлю, что опыт всегда заставлял нас приходить в соприкосновение только с пространством представлений, которое является физической непрерывностью, а не с геометрическим пространством, которое есть непрерывность математическая. Самое большее, он мог бы научить нас, что удобно наделять геометрическое пространство тремя измерениями, чтобы оно имело столько же измерений, сколько и пространство представлений.

Эмпирический вопрос может представиться в другом виде. Можно ли воспринимать явления физические, например механические явления, иначе, чем в пространстве трех измерений? Если нет, то мы имели бы, таким образом, объективное экспериментальное доказательство, так сказать, не зависящее от нашей физиологии, от наших способов представления.