Теорема века. Мир с точки зрения математики

Для тех, кто уже знаком с геометрией, легко было бы уяснить это следующим образом. Между рядами мыслимых мускульных ощущений есть такие, которые соответствуют рядам движений, при которых палец не шевелится. Я говорю, что если не считать различными ряды Σ и Σ + σ, где ряд σ соответствует таким движениям, при которых палец не шевелится, то совокупность рядов составит непрерывность трех измерений, но если ряды Σ и Σ’ считать различными, исключая тот случай, когда Σ’ = Σ + S + S’, где S и S’ обратимы, то совокупность рядов составит непрерывность более чем трех измерений.

В самом деле, пусть мы имеем в пространстве поверхность A, на этой поверхности линию B, на этой линии точку M; пусть C₀ – совокупность всех рядов Σ; пусть C₁ – совокупность всех таких рядов Σ, что в конце соответствующих движений палец находится на поверхности A; пусть также C₂ и C₃ – совокупности таких рядов Σ, что в конце палец оказывается на B и в M. Прежде всего, ясно, что C₁ составит купюру, которая разделит C₀, и что C₂ будет купюрой, которая разделит C₁, и C₃ – купюра, которая разделит C₂. Отсюда следует, по нашим определениям, что если C₃ есть непрерывность n измерений, то C₀ будет физической непрерывностью n + 3 измерений.

Пусть же Σ и Σ’ = Σ + σ будут два ряда, входящие в состав C₃; для обоих в конце движений палец находится в M; отсюда следует, что в начале и в конце ряда σ палец находится в той же точке M; следовательно, ряд σ – один из тех рядов, которые соответствуют движениям, когда палец не шевелится. Если Σ и Σ + σ не считать различными, то все ряды C₃ сольются в один, поэтому C₃ будет иметь 0 измерений и C₀, как я хотел доказать, будет иметь 3 измерения. Если же, напротив, Σ и Σ + σ я не считаю сливающимися (исключая тот случай, когда σ = S + S’, где S и S’ обратимы), то ясно, что C₃ будет содержать в себе множество рядов различных ощущений, ибо при полной неподвижности пальца тело может принимать много различных положений. Тогда C₃ образует непрерывность и C₀ будет иметь более трех измерений, а это я и хотел доказать.

Не будучи еще знакомы с геометрией, мы не можем рассуждать таким образом; мы можем только констатировать. Но тогда возникает вопрос, как, еще не зная геометрии, мы научились отличать от других те ряды σ, где палец остается неподвижным; ведь в самом деле, только установив это различие, мы получим возможность рассматривать Σ и Σ + σ как тождественные, а только при таком условии, как мы видели, можно прийти к пространству трех измерений.

Мы научились различать ряды σ, потому что часто бывает, что когда мы совершили движения, которые соответствуют этим рядам мускульных ощущений σ, тогда осязательные ощущения, переданные нам нервом пальца, который мы назвали первым пальцем, продолжаются, и эти движения не изменяют их. Опыт учит нас этому, и только он один мог научить нас этому.

Ряды мускульных ощущений S + S’, образованные соединением двух обратных рядов, мы отличали потому, что они сохраняли совокупность наших впечатлений; если теперь мы различаем ряды σ, так это потому, что они сохраняют некоторые из наших впечатлений. (Когда я говорю, что ряд мускульных ощущений S «сохраняет» одно из наших впечатлений A, то я хочу сказать, что мы устанавливаем, что если испытываем впечатление A, а потом мускульные ощущения S, то мы еще будем испытывать впечатление A после этих ощущений S.)

Выше я сказал – часто бывает, что ряды σ не изменяют осязательных впечатлений, испытываемых нашим первым пальцем; я сказал – часто, но не сказал – всегда; это мы выражаем на нашем обычном языке, говоря, что осязательное впечатление не изменилось бы, если бы палец не пошевелился, при условии, что предмет A, который соприкасался с этим пальцем, также не пошевелился. Ранее знакомства с геометрией мы не можем дать этого объяснения; мы, можем только констатировать, что впечатление удерживается часто, но не всегда.

Но уже достаточно того, что оно часто удерживается, чтобы ряды σ представились нам примечательными, чтобы нам пришлось причислить к одному и тому же классу ряды Σ и Σ + σ и затем не считать их различными. При этих условиях, как мы видели, они произведут физическую непрерывность трех измерений.

Вот, следовательно, пространство трех измерений, порожденное моим первым пальцем. Каждый из моих пальцев породит ему подобное. Останется исследовать, как мы пришли к тому, что рассматриваем их как тождественные визуальному пространству и тождественные геометрическому пространству.

Но прежде чем идти дальше, мы остановимся на одном размышлении; по предыдущему мы узнаем о точках пространства или – более общо – о конечном положении нашего тела только при посредстве рядов мускульных ощущений, открывающих нам те движения, которые перевели нас из некоторого начального положения в это конечное положение. Но ясно, что это конечное положение будет зависеть, с одной стороны, от этих движений, а с другой стороны, от того начального положения, из которого мы вышли. Эти движения открываются нам нашими мускульными ощущениями; но нам неоткуда узнать о начальном положении; мы ничем не можем отличить его от всех других возможных положений. Вот что ясно доказывает существенную относительность пространства.

4. Тождество различных пространств

Итак, мы пришли к сравнению двух непрерывностей C и С’, которые произведены, например, одна при посредстве моего первого пальца D, другая при посредстве моего второго пальца D’. И та и другая из этих двух непрерывностей имеют три измерения. Каждому элементу непрерывности C или, если угодно, каждой точке первого осязательного пространства соответствует ряд мускульных ощущений Σ, которые заставляют меня переходить из некоторого начального положения в некоторое конечное положение. Сверх того, одна и та же точка этого первого пространства будет соответствовать Σ и Σ + σ, если σ представляет собой ряд, о котором мы знаем, что он не вызывает движения со стороны пальца D.

Также и каждому элементу непрерывности C или каждой точке второго тактильного пространства соответствует ряд ощущений Σ’, и одна и та же точка будет соответствовать Σ’ и Σ’ + σ, если σ’ представляет собой ряд, который не вызывает движения со стороны пальца D’.

Итак, различать ряды σ и σ’ нас заставляет то обстоятельство, что первые не изменяют осязательных впечатлений, испытываемых пальцем D, а вторые сохраняют впечатления, которые испытывает палец D’.

И вот что мы констатируем: вначале мой палец D’ испытывает ощущение A’; я делаю движения, которые вызывают мускульные ощущения S; мой палец D испытывает впечатление A; я делаю движения, которые вызывают ряд ощущений σ; мой палец D продолжает испытывать впечатление A, потому что таково характерное свойство рядов σ; затем я делаю движения, которые вызывают ряд мускульных ощущений S’, обратный S в том же смысле, какой мы дали этому слову выше. Тогда я констатирую, что мой палец D’ испытывает снова впечатление A’ (разумеется, для этого нужно, чтобы S был выбран надлежащим образом).

Это значит, что ряд S + σ + S’, сохраняющий осязательные впечатления пальца D’, есть один из тех рядов, которые я обозначил через σ’. Обратно, если взять какой-нибудь ряд σ’, то S’ + σ’ + S будет одним из тех рядов, которые мы обозначаем через σ.

Итак, если S надлежаще выбран, то S + σ + S’ будет рядом σ’ и, варьируя σ всеми возможными способами, можно получить все возможные ряды σ’.

Не будучи еще знакомы с геометрией, мы ограничиваемся констатацией этого, но вот как объяснили бы факт те, кто знает геометрию.

Сначала мой палец D’ находится в точке M в соприкосновении с предметом a, который сообщает ему впечатление A’; я делаю движения, соответствующие ряду S, я сказал, что этот ряд должен быть надлежаще выбран; я должен произвести этот выбор так, чтобы эти движения приводили палец D в точку, первоначально занимаемую пальцем D’, т. е. в точку M; таким образом, этот палец D будет соприкасаться с предметом a, который сообщит ему впечатление А.

Потом я делаю движения, соответствующие ряду σ; среди этих движений, по предположению, положение пальца D не меняется, следовательно, этот палец остается в соприкосновении с предметом a и продолжает испытывать впечатление А. Наконец, я делаю движения, соответствующие ряду S’. Так как S’ обратен S, то эти движения приведут палец D’ в точку, которую раньше занимал палец D, т. е. в точку М. Если, как это можно предположить, предмет a не пошевелился, то этот палец D окажется в соприкосновении с этим предметом и снова испытает впечатление A’, что и требовалось доказать.

Посмотрим, что отсюда вытекает. Я рассматриваю ряд мускульных ощущений Σ; этому ряду будет соответствовать одна точка M первого тактильного пространства. Теперь возьмем два ряда S и S’, взаимно обратные, о которых мы только что говорили. Ряду S + Σ + S’ будет соответствовать одна точка N второго тактильного пространства, потому что какому-нибудь ряду мускульных ощущений, как мы сказали, соответствует одна точка либо в первом, либо во втором пространстве.