В 1165 году византийский император Мануил I Комнин переслал одно письмо императору Священной Римской империи Фридриху Барбароссе. Сообщалось, что автором письма был пресвитер Иоанн (“пресвитер” – это звание священнослужителя), который рассказывал о своем царстве в Индии. В письме говорилось, что он был невероятно богатым потомком одного из трех волхвов, навестивших новорожденного Христа. Взволнованный Фридрих сразу написал ответ и отправил его с послом. Неизвестно, что случилось с этим посланием, но этот случай оказался лишь первым из множества разочарований, связанных с пресвитером Иоанном.
К началу XV века имя пресвитера Иоанна было у всех на устах. Так, в 1400 году король Англии Генрих IV написал письмо “пресвитеру Иоанну, царю Абиссинии”, надеясь установить англо-абиссинские отношения. (Оговорюсь, пожалуй, что прошествие двух веков его не смутило, поскольку в первом письме пресвитер Иоанн сообщил, что владеет источниками вечной жизни.) В 1402 году флорентиец Антонио Бартоли прибыл в венецианский Дворец дожей и привлек всеобщее внимание. Бартоли привез с собой нескольких африканцев, а также жемчуг, леопардов, звериные шкуры и экзотические травы. Он назвался посланцем пресвитера Иоанна, властителя Индии, который хотел заключить союз с христианскими правителями Европы. Дож отправил его назад с дарами, включая серебряную чашу, фрагмент Животворящего Креста и 1000 дукатов, и послал к пресвитеру нескольких умелых ремесленников и оружейников.
По всей видимости, Бартоли бежал с добычей, поскольку больше о нем не было ни слуха ни духа. Тем не менее молва о богатствах пресвитера Иоанна и его желании увидеть, как христиане противостоят мусульманскому натиску, никак не стихала. В конце концов легенда дошла до Португалии, где нашла благодарного слушателя в лице принца Генриха – набожного, аскетичного, образованного третьего сына короля. Генрих почти сразу решил, что именно ему суждено наконец отыскать пресвитера Иоанна и привлечь его на сторону католиков, даже если для этого ему придется обойти всю Землю вдоль и поперек.
Историки не сходятся во мнениях насчет того, что именно предпринял Генрих (известен еще как Энрике Мореплаватель)[43]. Одни говорят, что он основал в Сагрише школу для обучения мореходов, судоводителей и корабельщиков. Другие считают, что он ограничился более общими, не столь формализованными мерами. Как бы то ни было, Генрих стремился задействовать все математические знания Южной Европы, чтобы покорить океаны и найти призрачное царство пресвитера Иоанна. Генрих привез в Португалию целый сонм специалистов, которые учили моряков корабельному делу, искусству навигации и картографии. Он сделал так много, что даже папский секретарь Поджо Браччолини отметил его достижения. “Как же славно быть единственным, кому достало отваги, решимости и целеустремленности, чтобы осмелиться сделать то, к чему никто прежде не подступался, – написал он в 1448 году. – Вы в одиночку [открыли] неведомые моря в невиданных странах, неведомые расы за пределами знакомого мира и дикие племена, живущие в самых дальних его уголках, куда не доходит солнце и куда еще никто не прокладывал путь”.
Вас вряд ли удивит тот факт, что Генрих так и не нашел пресвитера Иоанна. Зато он подготовил почву для европейского завоевания мира. Как? Применив геометрию, которую все мы изучаем в школе: синусы, косинусы и тангенсы прямоугольных треугольников и отношения между длинами окружности и диаметрами кругов и сфер.
В руках Генриха геометрия стала способом картографировать территории, прокладывать пути и устанавливать господство над миром. Так, потерпев кораблекрушение у берегов Португалии, Христофор Колумб осел на новом месте и нашел прекрасное применение картам, знаниям и навыкам, доступным благодаря основанной Генрихом школе в Сагрише. Вы уже знаете, к чему это привело. В последующие столетия те же знания дали нам кое-что даже получше: золотые века искусства и архитектуры.
Когда мне было восемь лет, я обожал легенду о короле Артуре. Помню, как я продирался сквозь эпопею Т. Х. Уайта “Король былого и грядущего” и представлял себя одним из рыцарей (чуть ли не каждый день выбирая себе нового героя). Я помню и комнату, где в том же возрасте меня впервые заставили заняться геометрией.
Слово “геометрия” в буквальном переводе значит “измерение Земли”. Но в школе все, как правило, сводится к изучению двух- и трехмерных фигур и их свойств. Главным образом это треугольники и круги, но можно строить и другие фигуры, например квадраты, конусы, пирамиды и даже, если вы готовы к авантюре, додекаэдры. Можно также рассматривать графики, учиться делить пополам отрезки и углы и осваивать техники измерения расстояния между точками на прямой. Все перечисленное вызывало во мне сильнейшее чувство, противоположное обожанию. Геометрия казалась мне скучной. Я готов был признать, что в теореме Пифагора что-то есть. Но как только я познакомился с ней и узнал, что квадрат гипотенузы – самой длинной из сторон прямоугольного треугольника – равняется сумме квадратов катетов, я снова отключился и мыслями вернулся к королю Артуру и его Круглому столу, где все равны.
Возможно, в восемь лет я проявил бы больше интереса, если бы мой учитель представил Пифагора как героя легенды, этакого греческого короля Артура. Оказывается, нет даже однозначных доказательств того, что человек, который сделал все, что приписывается Пифагору, вообще когда-либо существовал. Говорят, что он был апологетом вегетарианства, понял, что и утренняя, и вечерняя звезды – это Венера, осознал, что Земля имеет форму шара, и предположил, что планеты движутся по математическим законам. Однако нам почти ничего не известно о Пифагоре наверняка, поскольку ни одно из его сочинений не сохранилось[44]. Мы не знаем даже простых вещей – например, где он родился. Мы лишь
Ее основатель был очарован числами. Члены этого кружка, связанные тайными клятвами, входили в школу через арку, на которой значилось: “Все есть число”. По мнению пифагорейцев, числа управляли космосом. Степень их одержимости иллюстрирует рассказ – возможно, также легендарный – о судьбе ученого, который нарушил клятву, данную сообществу.
Его история, как и все хорошие геометрические истории, начинается с прямоугольного треугольника. Длина двух его сторон равна 1. По теореме Пифагора, если возвести длины двух коротких сторон (
Поскольку и
Мы не видим в этом ничего особенного. Но для пифагорейцев это было огромной проблемой. Они могли записывать числа, только если числа были целыми – 1, 2, 3 и так далее – или если они представляли собой отношение двух целых чисел. Вы точно сталкивались с математическими отношениями и их равенствами – пропорциями: например, при готовке мы в правильной пропорции смешиваем муку и масло, а еще не отступаем от пропорции, когда делаем сложные коктейли. Так, для “Манхэттена” нужны две части бурбона и одна часть сладкого вермута, а следовательно, пропорция здесь 2:1, и ее также можно выразить в виде дроби: 1/2 часть вермута при одной части бурбона. Пифагорейцы пытались найти пропорцию двух чисел, которая была бы числовым эквивалентом 2, и записать ее в виде дроби, такой как 1/3 или 5/6. Но у них ничего не получалось, несмотря на все старания.
Затем ситуация изменилась к худшему. Один из ученых Пифагорейской школы сумел доказать, что отчаянный поиск решения задачи о квадратном корне из 2 никогда не увенчается успехом. Оказывается, что √2 просто
Пифагорейцев так оскорбил этот выпад против универсальности целых чисел, что они решили держать существование иррациональных чисел в тайне. Однако, как гласит легенда, пифагореец Гиппас из Метапонта раскрыл этот секрет человеку, не входящему в их узкий круг. Когда его товарищи узнали о проступке Гиппаса, его сбросили за борт и оставили умирать посреди Адриатического моря. Мораль истории ясна: треугольники, по крайней мере прямоугольные, – это дело жизни и смерти.
Хотя нам точно не известно, чем занимались Пифагор и члены его кружка, один человек, которого занимали треугольники, действительно существовал, и это Фалес Милетский. Фалес был очень умен и предприимчив и жил на территории западного побережья современной Турции. Он родился около 640 года до нашей эры и ныне считается отцом философии науки. В глазах современников, однако, он был прирожденным дельцом. Считается, что однажды, заметив, что урожай оливок обещает быть особенно обильным, Фалес заранее скупил все прессы для отжима оливкового масла. Потом он сдавал их в аренду фермерам, заламывая огромные цены. Если же они отказывались брать пресс в аренду, он выкупал у них оливки по минимальной цене. В итоге Фалес сколотил состояние, которое позволило ему отойти от дел в среднем возрасте. Остаток жизни он посвятил науке. Новое хобби Фалеса благотворно повлияло на философию, естественные науки и математику: он первым стал использовать поддающиеся проверке гипотезы и теории для объяснения законов природы и первым записал несколько ключевых положений геометрии, которые мы изучаем и сегодня.
Скорее всего, Фалес сформулировал эти положения, странствуя по Египту. За тысячи лет до этого геометры играли важнейшую роль при проектировании таких великих египетских сооружений, как пирамиды. Но Фалес дополнил египетскую геометрию практической демонстрацией работы различных принципов. Так, он показал, что в треугольнике, который сегодня называется равнобедренным, углы при основании равны. Для этого он перевернул точную копию такого треугольника, и копия осталась идентичной. Он также продемонстрировал, что, зная длину основания и величины углов по обе стороны от него, можно получить все необходимые сведения о треугольнике. Это полезная информация. Если вы хотите узнать, насколько далеко корабль ушел в море, постройте треугольник с вершиной возле корабля. Возьмите известную длину побережья за основание треугольника, встаньте на одном конце этого основания и измерьте угол между основанием и кораблем. Затем перейдите на другой конец основания и снова измерьте, под каким углом находится корабль. Теперь постройте – если хотите, нарисуйте на песке – треугольник поменьше, в котором углы при основании равны только что измеренным. Определите отношение его высоты к основанию и умножьте полученное число на расстояние, отмеренное на побережье при построении первого треугольника. У вас получится расстояние от берега до корабля.
С помощью подобных треугольников можно определять расстояние до корабля в море
Применив другой вариант этой техники, Фалес показал, что такие “подобные треугольники” содержат полезные пропорции. По легенде, он поразил египетского фараона Амасиса II, вычислив высоту пирамиды, зная лишь высоту шеста, помещенного на кончик тени этой пирамиды.
ebooksa