Создание первой из известных нам картографических проекций приписывается Агатодемону Александрийскому, который (как считается) жил во II веке нашей эры. Древнегреческий математик Птолемей, живший в Александрии примерно тогда же, опубликовал составленную в этой проекции карту в своей книге “География”. Это проекция с линиями широт и долгот, которая в свое время была революционной, но прочерченные Агатодемоном параллели изогнуты, а меридианы не параллельны и расходятся лучами из самой северной точки.
Примерно в ту же эпоху картограф Марин Тирский предложил “равнопромежуточную проекцию” для составления карт местности. В этой проекции на плоскость широты пролегают горизонтально, а долготы – вертикально, и расстояния между всеми линиями равны. Этого – с небольшими изменениями и дополнениями – оказалось достаточно, чтобы мореплаватели более тысячи лет не испытывали проблем с навигацией.
Христофор Колумб тоже был картографом и славился составлением исключительно точных карт в своих плаваниях. К концу XV века испанский и португальский королевские дворы поняли, что того, кто сможет беспрепятственно плавать в Ост-Индию или в Америку, ждет огромное богатство. Для этого необходимо было создать такие геометрические построения, которые позволили бы картографам давать мореплавателям четкие инструкции. В дневнике Колумба от 1492 года, адресованном его покровителям, выражено его намерение осуществить нечто грандиозное:
Я решил <…> составить новую морскую карту, на которой на надлежащих местах были бы показаны под их ветром все моря и земли моря-океана, и еще завести книгу и в ней помещать все подобным же образом в рисунках с пометками экваториальной широты и западной долготы. И настолько обременил я себя всем этим, что позабыл о сне; и многое испытал я в плаванье, выполняя предначертанное, и совершение всего потребовало великих трудов[48].
Однако в силу принципов сферической геометрии никакая плоская двумерная карта сферы не может быть совершенной. Возьмем, к примеру, карту мира, которая, наверное, знакома вам лучше всего: в ее основе лежит проекция Герарда Меркатора. Она появилась в 1569 году и получила широчайшее распространение, поскольку была очень удобна для моряков. Руководствуясь своим подходом к сферической тригонометрии, Меркатор на своей карте сохранил углы между двумя любыми точками точно такими же, как на сферической поверхности Земли, благодаря чему компасный азимут по карте стал совпадать с компасным азимутом при прокладке курса корабля. Не обошлось и без недостатков: континентальные массивы – а следовательно, и расстояния – далеко от экватора оказались существенно увеличены. Мир на самом деле не совсем такой, как на проекции Меркатора: так, Аляска на деле в пять раз меньше Бразилии, но у Меркатора их размеры кажутся примерно одинаковыми. Гренландия у него сравнима по размерам с Африкой, хотя Африка на самом деле в 14 раз больше. Но разве это важно, когда вы просто плаваете по морям и океанам, не заходя слишком далеко на север и на юг?
Проекция Меркатора.
Сегодня карты, конечно, выглядят совсем иначе. Они стали “динамическими”: их характеристики можно менять в зависимости от собственных нужд, как с GPS-картами в телефоне. Их польза в том, что корректность отображения мира на них может меняться на усмотрение пользователя. С точки зрения математики это весьма непросто: лучшие ученые NASA не один десяток лет не могли понять, какие математические хитрости нужно применить, чтобы этого добиться.
В конце концов с задачей справился Джон Парр Снайдер. Возможно, вы слышали прежде о Птолемее и Меркаторе, но я сильно удивлюсь, если вам знакомо имя Снайдера. И это печально, ведь, как отметили в
Снайдер был настоящим чудаком – в лучшем смысле этого слова. В 1942 году, когда ему было всего шестнадцать, он завел первую записную книжку и стал собирать интересные факты из сфер географии, астрономии и математики[50]. Среди многого другого в его записях были сведения о треугольниках, а также мысли и догадки о геометрии плоских поверхностей и твердых тел. Эти размышления быстро пробудили в нем интерес к картографическим проекциям. Снайдера восхищало, как с помощью математических уравнений точки с поверхности земного шара преобразуются в точки на плоской поверхности и как математика влияет на геометрические взаимосвязи между ними. Однако он никогда не изучал этот предмет. В университете он специализировался на химической инженерии, которая сначала и стала его профессией. Лишь несколько десятилетий спустя, в 1970-х годах, он профессионально занялся картографией.
В 1972 году NASA запустило
Снайдер услышал об этой проблеме в 1976 году, когда жена вручила ему на день рождения подарок для настоящего умника: билет на картографическую конференцию “Меняющийся мир геодезической науки”, которая проходила в Колумбусе (штат Огайо). Колво выступил там и описал трудности, с которыми столкнулся. Снайдер заинтересовался. На протяжении пяти месяцев он ломал голову над этой задачей, превратив гостевую спальню в рабочий кабинет и не используя никаких технических средств помимо программируемого карманного калькулятора TI-56, выпущенного компанией
Проекция Снайдера называется космической косой проекцией Меркатора. По мнению одного специалиста, это “одна из самых сложных проекций, разработанных человеком”. Среди прочего она предполагает применение 82 уравнений к каждой единице информации. В результате получается проекция Меркатора, построенная с движущейся наблюдательной точки и допускающая лишь минимальное искажение при изображении области, находящейся прямо под спутником. Нам очень сложно понять, как именно работает эта система, но любопытно отметить, что статья Снайдера с описанием лежащих в ее основе идей пестрит синусами, косинусами и тангенсами. Прошло несколько тысяч лет с тех пор, как мы постигли свойства треугольника, а они по-прежнему служат нам верой и правдой.
Космическая косая проекция Меркатора стала важнейшим шагом на пути к созданию спутниковых карт нашей планеты. Они жизненно необходимы для всех аспектов цивилизации XXI века, от проведения военных операций и осуществления навигации до прогнозирования погоды, защиты окружающей среды и мониторинга климата. Проекция Снайдера дала нам карты
Учитывая, сколько внимания я уделил треугольникам, мне не было бы прощения, если бы я лишь по касательной прошелся по свойствам кругов. Они тоже сыграли весьма важную роль в нашей истории.
Как и треугольники, круги всегда интересовали людей из практических соображений. Вычисляя площадь треугольников и прямоугольников, древние правители понимали, какой налог взимать с землевладельца, поскольку любое поле, какой бы формы оно ни было, можно грубо поделить на треугольники и прямоугольники. Благодаря этому становится проще определить общую площадь поля, и налоговый инспектор понимает, какой налог подлежит уплате в казну. Умение вычислять объем цилиндрических сосудов и силосных зернохранилищ (или даже конических горок специй) также важно для обложения налогом собранного урожая, а также купленных или произведенных товаров. А эти объемы не вычислить, не зная, какими свойствами обладает круг.
Первым делом необходимо получить достаточно точное значение отношения длины окружности к диаметру круга. Это отношение обозначается греческой буквой π (пи), и длина окружности круга равняется его диаметру, умноженному на π. Многие древние культуры не стремились к точности. Вавилоняне и первые китайские геометры приравнивали значение π к 3,0, а древние египтяне около 1500 года до нашей эры – к 3,16. Архимед вычислил число π, вписав в круг многоугольник и разделив его на треугольники, основаниями которых служили стороны многоугольника (а другими сторонами – радиусы круга). Если вычислить площадь каждого из этих равнобедренных треугольников, можно узнать площадь многоугольника. Чем больше треугольников вы построите, тем ближе площадь многоугольника станет к площади круга и тем точнее окажется полученное значение числа π. Площадь всех этих треугольников примерно соответствует площади круга, равной π
Метод Архимеда для вычисления π с помощью треугольников, вписанных в круг
Около 450 года нашей эры китайский геометр Цзу Чунчжи построил 24576-угольник и получил значение π в диапазоне от 3,1415926 до 3,1415927. Сегодня мы знаем, что π равняется 3,14159265358979…, и определили многие следующие триллионы его десятичных знаков.
Если бы на Землю высадились инопланетяне, их поразило бы, насколько мы неравнодушны к числу π. Ни одно другое число не изучалось нами с таким же рвением. О нем снимают художественные и документальные фильмы, ему посвящают песни, оно даже стало объектом искусства. Может, я слишком люблю треугольники, но мне сложно понять, что такого в числе π. Неужели дело в том, что у него нет конца, а цифры в нем располагаются без четкой закономерности? Это довольно любопытно, ведь у круга тоже нет конца, но
Стоит признать, что число π действительно полезно. Оно всплывает буквально всюду – например, в математике, физике, финансах, архитектуре, искусстве, музыке и инженерии. Это объясняется тем, что без него не обходится ни одно математическое описание повторяющегося явления. Если вас интересует математика волн – где бы они ни распространялись, будь то в звуке, в воде, в электромагнитной среде, в биржевых данных или в любых других средах, – вы, по сути, имеете дело с явлением, свойства которого цикличны, а следовательно, вам нужно число π. Однако, поскольку мы рассматриваем влияние математики на нашу цивилизацию, не будем забывать о той сфере применения π, которую часто обходят вниманием: об архитектуре.
ebooksa