“Вся навигация сводится к правильному треугольнику”, – сказал французский мореплаватель Гийом Дени в 1683 году[45]. Он имел в виду треугольник, который мы называем прямоугольным: по его словам, моряку достаточно изучить свойства этой фигуры. Эту истину установили много столетий назад, еще когда средиземноморские моряки начали использовать розы ветров. Роза ветров – это нанесенные на карту линии, соединяющие порты и другие примечательные места. Если карта верна, то угол наклона такой линии относительно севера позволяет проложить курс по компасу.
Моряки собирали розы ветров в портуланы – портовые книги, – которые широко использовались для навигации по Средиземному морю в XIII веке. Однако суда редко перемещались от порта к порту по прямой. Когда в ходе плавания они сбивались с курса – будь то из-за неблагоприятных ветров, из-за островов на пути или из-за встречи с пиратами, – математика треугольников, или тригонометрия, помогала морякам снова взять верный курс. Именно поэтому они всегда брали с собой либо таблицы синусов и косинусов, либо инструмент для их вычисления, например синусный квадрант.
Первое описание синусного квадранта было сделано в IX веке. Именно тогда аль-Хорезми, старший библиотекарь Дома мудрости в Багдаде (и человек, который познакомил нас с нулем в предыдущей главе), расчертил четверть круга на квадраты и прикрепил бечевку к точке в начале координат. Другой конец бечевки доходил до изогнутого края, поделенного на 90 градусов. Вдоль двух прямых сторон инструмента была нанесена шкала, поделенная на 60 единиц: с помощью одной из сторон вычисляли синус угла, с помощью другой – его косинус.
Синусный квадрант
Сегодня можно распечатать изображение синусного квадранта из интернета. Он поразительно прост в использовании: по сути, достаточно построить нужный угол с помощью бечевки и провести линию от края к шкале синусов или косинусов. Но будь вы моряком, которому нет дела до синусов и косинусов, на помощь вам пришла бы
При этом применялась другая диаграмма – роза румбов. Каждая ее четверть поделена на восемь румбов, соответствующих разным направлениям. В первой четверти, например, находятся румбы север-тень-восток, север-северо-восток, северо-восток-тень-север, северо-восток и так далее.
Роза ветров. Каждое из обозначенных на ней направлений – это румб
Давайте проверим, получится ли у нас рассуждать подобно моряку XIII века. Представьте, что вы хотите по морю дойти из Афин в Ираклион на Крите. Вам нужно преодолеть примерно 212 миль на юго-юго-восток, но ветер позволяет вам двигаться лишь в южном направлении. В ходе путешествия по Эгейскому морю вы сможете оценивать пройденное расстояние либо “счисляя координаты”, для чего вам придется определять скорость путем наблюдения за волнами за бортом, либо бросая в воду деревяшки и засекая время, за которое они преодолевают известное расстояние от носа до кормы. Допустим, вы прошли 75 миль и ветер сменился: теперь вы можете взять курс на восток-юго-восток. Но сколько вам нужно будет пройти в этом направлении, чтобы вернуться на изначально запланированный курс?
Как и сказал Дени, все сводится к прямоугольным треугольникам. С
Простая
Мы прошли 75 миль на юг, отклоняясь на два румба от идеального курса. С помощью
Прокладка маршрута из Афин в Ираклион с помощью румбов и
Итак, если теперь все хорошо, мы прошли 75 миль на юг, затем 40 миль на восток-юго-восток, после чего нам остается пройти 114,5 мили на юго-юго-восток. Если такой возможности нет, нам придется повторить процесс снова. Нам остается лишь следить за своими перемещениями по карте, остерегаться мелководий, где судно может сесть на мель, и стараться сделать так, чтобы путешествие не затянулось и на борту не исчерпались запасы продовольствия и пресной воды.
Эти тригонометрические трюки и таблицы занимали такое важное место в инструментарии мореходов, что стали прекрасным источником дохода для предприимчивых преподавателей, которые открывали школы для моряков или писали учебники. Самые ушлые занимались и тем, и другим: набирали учеников и обязывали каждого из них купить написанный учителем учебник. Французский математик Гийом Дени так умело монетизировал свое знание геометрии, что открыл школу навигации в Дьепе. У него учились новобранцы французского флота, независимые моряки и даже пираты. Королевская школа гидрографии Дени была лишь одним из многих подобных европейских институтов, работавших в XVI и XVII веках. Хотя за моряками закрепилась репутация безграмотных невежественных грубиянов, многие из них, несмотря на это, прекрасно разбирались в математике.
Впрочем, им стоило понимать, что их возможности были не безграничны. Геометрия плоских треугольников, подходящая для средиземноморских портуланов, не работала в более долгих путешествиях. Поскольку Земля имеет (приблизительно) сферическую форму, ее поверхность изгибается и треугольники меняются. Чтобы понять, как именно это происходит, прочертите на шкурке апельсина три прямые линии, формирующие треугольник, а затем почистите апельсин. Треугольник получился не совсем ровным, ведь так? Его стороны выгнулись, а если вычислить сумму трех его углов, она окажется больше 180°, характерных для плоского треугольника. Следовательно, если вы будете двигаться по океану, придерживаясь одного направления по компасу, на поверхности Земли ваш маршрут окажется вовсе не прямой линией. Вы будете перемещаться по так называемой локсодромии: спирали, которая закручивается вокруг земного шара, неизменно пересекая идущие с севера на юг меридианы под одинаковым углом.
Придерживаясь одного направления по компасу, вы будете огибать земной шар по локсодромии
Это значит, что даже если мне известно направление по компасу на Бристоль в Англии из Нью-Йорка в США, это не самый короткий морской путь от одного города к другому. Мне нужно выбрать кратчайшее расстояние между точками на сфере: окружности, на которой лежат обе точки и центр которой находится в центре земного шара. В навигации по поверхности Земли ее называют “большим кругом”.
Теперь представьте, что мы планируем пройти по большому кругу от Нью-Йорка до Бристоля и запасаемся провиантом для этого плавания[47]. Чтобы определить, какое расстояние нам необходимо преодолеть, нам нужно представить сферический треугольник, в одном из углов которого находится Нью-Йорк, во втором – Бристоль, а в третьем – Северный полюс. Если нам известно, на какой широте находятся Нью-Йорк и Бристоль (то есть насколько они выше или ниже экватора), мы можем вычислить расстояние между ними с помощью стандартной тригонометрии. Но это долгий и трудоемкий процесс. Для этого необходимо представить целый ряд треугольников, часть из которых будет торчать из центра Земли и выходить за пределы ее поверхности. Нам также придется произвести на этих треугольниках серию сложных тригонометрических расчетов, в каждом из которых можно допустить ошибку, что в итоге не доведет нас до добра. Но есть и другой вариант – отправиться в школу навигации, где преподаватели обучат нас полезным приемам.
Сферическая форма Земли – главная проблема картографии. Геометры давно поняли, что земной рельеф невозможно прямо перенести на плоскую поверхность, такую как карта, не столкнувшись с различного рода искажениями. Многие тысячи лет картографы искали способ “проецировать” сферическую поверхность таким образом, чтобы минимизировать расхождения карт с реальностью. При проецировании над широтой и долготой производятся математические операции, чтобы при изображении рельефа на плоской поверхности углы и расстояния между различными точками обретали смысл. Эта математика подразумевает комбинацию геометрии сфер и тригонометрии (а ныне еще и математического анализа, к которому мы обратимся через пару глав).
ebooksa