Теорема века. Мир с точки зрения математики

Таким образом, определение, которое я только что дал, по существу не отличается от обычных определений; я только хотел сообщить ему форму, применимую не к математической непрерывности, а к физической, которая одна только доступна для представления, и вместе с тем хотел сохранить всю его точность.

Впрочем, видно, что это определение приложимо не только к пространству, что во всем том, что воспринимается нашими чувствами, мы встречаем характерные признаки физической непрерывности, что и допускает возможность одной и той же классификации; легко было бы найти примеры непрерывностей четырех, пяти измерений в смысле предыдущего определения; эти примеры возникают в уме сами собой.

Наконец, я мог бы изложить, если бы у меня было на это время, как наука, о которой я говорил выше и которую Риман назвал Analysis Situs, учит нас различать непрерывности одного и того же числа измерений и как классификация этих непрерывностей опирается по-прежнему на рассмотрение купюр.

Из этого понятия произошло понятие математической непрерывности многих измерений тем же способом, каким физическая непрерывность одного измерения произвела математическую непрерывность одного измерения. Формула

A > С, А = В, В = С,

которая резюмировала грубые данные опыта, содержала в себе нетерпимое противоречие. Чтобы избавиться от него, нужно было ввести новое понятие, впрочем, принимая во внимание существенные свойства физической непрерывности многих измерений. Математическая непрерывность одного измерения допускает единственную шкалу с бесконечным числом ступеней, которые соответствуют разным соизмеримым или несоизмеримым значениям одной и той же величины. Для того чтобы получить математическую непрерывность n измерений, достаточно взять n подобных шкал, ступени которых будут соответствовать различным значениям n независимых величин, называемых координатами. Таким образом, получится изображение физической непрерывности n измерений, и это изображение – насколько это возможно – будет верным, если только не желают допустить существование того противоречия, о котором я говорил выше.

4. Понятие точки

Теперь, по-видимому, решен вопрос, который мы поставили себе вначале. Когда мы говорим, что пространство имеет три измерения, то мы, скажут нам, подразумеваем, что совокупность точек пространства удовлетворяет определению, которое мы только что дали для физической непрерывности трех измерений. Удовлетвориться этим значило бы предположить, что мы знаем, что такое совокупность точек пространства или даже что такое одна точка пространства.

А это не так просто, как кажется. Все думают, что знают, что такое точка; и мы даже полагаем, что нет нужды в ее определении именно потому, что мы слишком хорошо знаем ее. Конечно, нельзя требовать от нас умения определить ее, потому что при переходе от определения к определению необходимо должен наступить момент, когда приходится остановиться. Но когда же следует остановиться?

Прежде всего, остановка произойдет тогда, когда дойдем до предмета, который поддается восприятию наших чувств или который можно себе представить; тогда определение станет бесполезным; ребенку ведь не определяют барана, ему говорят: вот баран.

Но тогда мы должны спросить себя, возможно ли представить себе точку пространства. Те, которые отвечают «да», не думают, что на самом деле они представляют себе белую точку, начерченную мелом на черной доске, или черную точку, сделанную пером на белой бумаге, и что они могут представить себе только предмет или – лучше – те впечатления, которые этот предмет может производить на их чувства.

Когда они стараются представить себе точку, они представляют себе те впечатления, которые возбуждаются весьма малыми предметами. Нет необходимости прибавлять, что два различных предмета, хотя бы и весьма малые, могут производить совершенно различные впечатления, но я не останавливаюсь на этой трудности, которая потребовала бы некоторого обсуждения.

Однако дело не в этом; недостаточно представлять себе какую-то точку, нужно представить себе такую-то точку и иметь средство отличать ее от другой точки. И в самом деле, для того чтобы мы могли применить к непрерывности то правило, которое я изложил выше и благодаря которому можно узнать число ее измерений, мы должны опереться на тот факт, что два элемента этой непрерывности то могут, то не могут быть различены. Следовательно, нужно, чтобы мы могли в некоторых случаях представлять себе такой-то элемент и отличать его от другого элемента.

Вопрос состоит в том, чтобы знать: одинаковы ли точка, которую я представлял себе час тому назад, и точка, которую я представляю себе теперь, или они различны. Другими словами, как нам узнать, является ли той же самой точка, занимаемая предметом А в момент α, что и точка, занимаемая предметом B в момент β, или – еще лучше – что это значит?

Я сижу в своей комнате, предмет лежит на моем столе; я не двигаюсь с места в продолжение одной секунды, никто не касается предмета; мне хочется сказать, что точка A, которую занимал этот предмет в начале этой секунды, тождественна с точкой В, которую он занимал в конце; но это совсем не так: от точки А до точки В – 30 километров, потому что предмет принимал участие в движении Земли. Будь предмет мал или велик, мы не можем узнать, не переменил ли он абсолютное положение в пространстве; и не только мы не можем утверждать этого, но самое это утверждение не имеет никакого смысла и во всяком случае не может соответствовать никакому представлению.

Но тогда мы можем спросить себя, изменилось ли относительное положение предмета по отношению к другим предметам, и прежде всего – по отношению к нашему телу; если впечатления, производимые на нас этим предметом, не изменились, то мы будем склонны думать, что это относительное положение также не изменилось; если впечатления изменились, то мы решим, что этот предмет переменил либо состояние, либо относительное положение. Остается выбрать одно из двух решений. В «Науке и гипотезе» я выяснил, как мы пришли к различению перемен положения. Впрочем, в дальнейшем я опять возвращусь к этому. Итак, мы приходим к знанию того, осталось ли относительное положение предмета по отношению к нашему телу тем же самым или нет.

Если теперь мы видим, что два предмета сохранили свое относительное положение по отношению к нашему телу, то мы заключаем, что относительное положение этих двух предметов по отношению друг к другу не изменилось; но мы приходим к такому заключению лишь путем косвенного рассуждения. Единственная вещь, которую мы знаем непосредственно, – это относительное положение предметов по отношению к нашему телу.

И тем более только в силу косвенного рассуждения мы верим (и еще сама эта вера обманчива), будто знаем, изменилось ли абсолютное положение предмета.

Словом, система координатных осей, к которым мы естественно относим все внешние предметы, – это система осей, неизменно связанная с нашим телом, которую мы и носим всюду с собой.

Невозможно представить себе абсолютное пространство; когда я хочу представить себе одновременно предметы и самого себя в движении в абсолютном пространстве, в действительности я представляю себя неподвижным наблюдателем движения вокруг меня различных предметов и человека, который находится вне меня, но которого я условно называю «я».

Будет ли трудность разрешена, если условимся все относить к этим осям, связанным с нашим телом? Знаем ли мы на этот раз, что такое точка, определенная таким образом своим относительным положением по отношению к нам? Многие ответят «да» и скажут, что они «локализуют» внешние предметы.