Перейдем теперь к совершенно другому примеру, где главную роль играет сложность причин. Я предположу, что игрок тасует колоду карт. При каждой перетасовке он меняет порядок карт и может это сделать несколькими способами. Предположим для простоты, что мы имеем только три карты. Карты, которые вначале были расположены в порядке 1 2 3, могут после перетасовки оказаться в одном из шести расположений:
Каждая из этих шести гипотез возможна и соответственно имеет вероятность
Сумма этих шести чисел равна единице, но это и все, что мы о них знаем. Эти шесть вероятностей зависят от привычек игрока, которых мы не знаем.
При второй тасовке повторится то же и притом в тех же условиях. Я хочу этим сказать, что
Но если число взмахов очень велико, то карты, которые до первого взмаха были расположены в порядке 123, могут после последнего взмаха иметь любое из расположений
и вероятность этих шести гипотез в доступных нам пределах будет одна и та же, т. е. 1/6; и это будет справедливо, каковы бы ни были числа
Это без изменения относится и к тому случаю, когда число карт больше трех, но даже и при трех картах доказательство было бы сложно. Я ограничусь тем, что проведу его для случая только двух карт. Тогда мы имеем лишь две гипотезы
с соответственными вероятностями
Разность
Есть, однако, одно исключение – именно, когда одно из чисел
В этом случае дело будет обстоять иначе, потому что начальные гипотезы слишком просты.
Изложенное относится не только к смеси карт, но и ко всяким смесям, в том числе и к смесям порошков и жидкостей; оно относится и к смесям газовых молекул в кинетической теории газов. Чтобы перейти от изложенных примеров к этой теории, представим себе газ, молекулы которого не могут взаимно сталкиваться, но могут отклоняться только при ударах о стенки сосуда, в который они заключены. Если сосуд имеет достаточно сложную форму, то распределение молекул и скоростей не замедлит стать однородным; этого, однако, не будет, если сосуд имеет форму шара или прямоугольного параллелепипеда. Почему же? Потому что в первом случае расстояние центра от каждой траектории остается постоянным. Во втором случае постоянной остается абсолютная величина угла, составляемого каждой траекторией с гранями параллелепипеда.
Мы видим также, что нужно понимать под очень простыми условиями. Это те условия, которые сохраняют нечто неизменное, которые допускают инварианты. Не слишком ли просты дифференциальные уравнения задачи, чтобы мы могли применить к ней законы случая? На первый взгляд вопрос кажется лишенным точного смысла, но теперь мы понимаем его содержание. Эти дифференциальные уравнения слишком просты, если они сохраняют что-то постоянным, если они допускают общий интеграл. Если что-то из начальных условий остается неизменным, то ясно, что конечное состояние не сможет быть независимым от начального.
Обратимся теперь к теории ошибок. Чем обусловливаются случайные ошибки, мы не знаем, и именно потому, что мы этого не знаем, мы уверены, что они будут подчиняться закону Гаусса. Таков парадокс. Он объясняется приблизительно так же, как и предыдущий случай. Нам нужно знать только одно: что ошибки очень многочисленны, что они очень малы, что каждая из них может столь же легко оказаться отрицательной, как и положительной. Какова кривая вероятностей каждой из них, мы этого не знаем; мы только предполагаем, что это симметричная кривая. Тогда мы можем доказать, что окончательная ошибка будет следовать закону Гаусса, и этот окончательный закон не зависит от частных законов, которые остались для нас неизвестными. Здесь опять-таки простота результата обусловливается сложностью данных.
Однако мы еще не покончили с парадоксами. Выше я воспользовался выдумкой Фламмариона о человеке, который движется быстрее света и для которого время вследствие этого меняет знак. Я сказал, что ему все явления представлялись бы случайными. С известной точки зрения это справедливо; и все эти явления в некоторый определенный момент не были бы распределены согласно законам случая потому, что они в действительности были бы распределены так же, как и для нас, на глазах которых они разматываются гармонично, не возникая из какого-то первичного хаоса, а мы отнюдь не считаем их результатом случая. Что же это значит? Люмену, человеку Фламмариона, кажется, что незначительные причины приводят к большим эффектам. Почему же явления не протекают для него так же, как для нас, когда мы полагаем, что видим большие результаты, обусловливаемые малыми причинами. Нельзя ли и к его случаю применить то же самое рассуждение?