4. Я еще вернусь ко всем этим примерам. Я хотел лишь показать вам две противоположные идеи: между ними имеется самый резкий контраст, причина которого нам раскрывается историей науки. Если мы читаем книгу, написанную пятьдесят лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишенными логической строгости.
В ту эпоху допускали, что непрерывная функция не может изменить знак, не проходя через нуль; теперь это доказывают. Допускали, что обыкновенные правила счисления приложимы к несоизмеримым числам, теперь это доказывают. Допускали еще и другие вещи, которые порою оказывались ложными.
Доверялись интуиции. Но интуиция не может дать ни строгости суждений, ни уверенности в их правильности, в этом убеждались все более и более. Интуиция, например, учит нас, что всякая кривая имеет касательную, т. е. что каждая непрерывная функция имеет производную, и однако это положение ложно. А так как знание стремилось к уверенности, то приходилось все более и более ограничивать роль интуиции. Каким образом свершилась эта необходимая эволюция? Вскоре было замечено, что рассуждения лишь тогда приобретут строго доказательную силу, когда эта строгость будет предварительно внесена в определения.
Объекты, которыми занимаются математики, долгое время не имели хороших определений; эти предметы казались известными потому, что их себе представляли при помощи чувств или воображения; но в действительности их образы отличались грубостью; не было точных идей, на которые могли бы опереться доказательства. Вот в эту сторону логики вынуждены были направить свои усилия. Примером могут служить несоизмеримые числа.
Неопределенная идея непрерывности, которой мы обязаны интуиции, разрешилась в сложную систему неравенств, имеющих дело с целыми числами. Благодаря этому исчезли, наконец, все те трудности, которые пугали наших отцов, когда они размышляли об основаниях исчисления бесконечно малых величин.
Теперь анализ имеет дело только с целыми числами или же с конечными или бесконечными системами целых чисел, связанных совокупностью равенств и неравенств.
Математические науки, как говорят, арифметизировались.
5. Но можно ли думать, что эти науки достигли абсолютной строгости, ничем со своей стороны не жертвуя? Ничуть; то, что они выиграли в строгости, они потеряли в объективности. Они приобретали совершенную чистоту, удаляясь от реальности. Теперь можно свободно обозреть всю область математического знания, которая раньше была усеяна преградами, но эти преграды не исчезли. Они были лишь перенесены на границу; и если мы хотим перейти эту границу, чтобы вступить в область практики, то мы должны снова преодолеть эти препятствия.
Прежде мы обладали лишь неясными понятиями, составленными из несвязанных элементов, из которых одни были априорны, другие вытекали из более или менее уясненного опыта; мы думали, что главные их свойства узнаны интуитивным путем. Теперь эмпирические элементы отвергаются и сохраняются лишь элементы априорные, для определения берется одно из свойств, все другие выводятся из него путем строгого рассуждения. Это хорошо, но остается еще доказать, что свойство, ставшее определением, принадлежит действительно тем реальным объектам, с которыми нас познакомил опыт и из которых мы вывели наше ясное интуитивное понятие. Чтобы это доказать, необходимо обратиться к опыту или прибегнуть к усилию интуиции; если же мы этого не докажем, то наши теоремы будут совершенно строгими, но и совершенно бесполезными.
Логика приводит часто к уродствам. На протяжении полувека мы видели, как возникло множество причудливых функций; эти новые функции как будто старались возможно менее походить на те благородные функции, которые чему-нибудь да служат. Таковы, например, функции непрерывные, но без производных, и т. д. Более того, с точки зрения логической эти именно причудливые функции и являются наиболее общими; те же функции, которые мы находим без долгих поисков, образуют как бы частный случай. Для них остается лишь маленький уголок. Некогда при нахождении новых функций имелась в виду какая-нибудь практическая цель. Теперь функции изобретаются специально для того, чтобы обнаружить недостаточность рассуждения наших отцов, никакого иного вывода, кроме этого, из них нельзя извлечь.
Если бы логика была единственным руководителем педагога, то нужно было бы начинать с наиболее общих, т. е. наиболее причудливых функций. Именно начинающего следовало бы в таком случае отдать во власть этого музея уродств. «Если вы этого не делаете, – могли бы сказать логики, – то вы достигнете надлежащей строгости лишь после целого ряда этапов».
6. Быть может, это и так; но мы не можем не дорожить реальностью. Я разумею здесь не только реальность чувственного мира, который, впрочем, имеет свою ценность уже потому, что девять десятых ваших учеников ищут у вас орудий именно для борьбы с этой реальностью. Но есть реальность более утонченная, которая составляет жизнь математических субстанций и которая все-таки не логика.
Наше тело составлено из клеток, клетки – из атомов. Составляют ли эти клетки и эти атомы все, что есть реального в человеческом теле? Не представляет ли собою способ, каким эти клетки собраны и который обусловливает единство индивида, также реальности, и реальности гораздо более интересной? Мог бы натуралист, изучавший слона только под микроскопом, думать, что он достаточно познакомился с этим животным?
То же самое в области математики. Когда логик разложил всякое доказательство на множество элементарных операций, вполне правильных, он еще не уловил реальности в ее целом; то неизвестное мне, что составляет единство доказательства, совершенно от него ускользнуло.
Стоит ли в здании, возведенном нашими учителями, удивляться работе каменщика, если мы не понимаем плана архитектора? Но общий взгляд не дается нам чистой логикой; чтобы получить его, мы должны обратиться к интуиции.
Возьмем для примера идею непрерывной функции. Сначала это не что иное, как чувственный образ, след, начертанный мелом на черной доске. Мало-помалу эта идея очищается. Ею пользуются для построения сложной системы неравенств, воспроизводящей все линии примитивного образа. Когда построение закончено, кружала снимаются, как это делается после сооружения свода, то грубое представление, которое стало отныне бесполезным, исчезает, остается лишь само здание, безупречное в глазах логика. И, однако, если бы преподаватель не влил содержания в первоначальные образы, если бы он не установил на время кружал, разве мог бы ученик догадаться, по какому капризу все эти неравенства определенным образом нанизывались одно на другое? Определение было бы правильным с логической стороны, но оно не раскрыло бы ученику настоящей реальности.
7. Мы должны вернуться назад. Без сомнения, учителю неприятно вести преподавание в рамках, которые его не вполне удовлетворяют. Но удовлетворение учителя – не единственная цель обучения; нужно прежде всего считаться с умом ученика и с тем, что из него желают сделать.
Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного резюмирует вкратце историю его предков в разные геологические периоды. Воспитатель должен заставить ребенка пройти через те ступени, которые были пройдены его предками, пройти быстрее, но без пропуска промежуточных этапов. В этом смысле история науки должна быть нашим первым руководителем.
Наши предки думали, что знают, что такое дробь, непрерывность, площадь кривой поверхности; лишь мы заметили, что они этого не знали. Точно так же наши ученики думают, что они это знают, когда уже принимаются серьезно за изучение математики. Если я, без предварительной подготовки, скажу им: «нет, вы этого не знаете, вы не понимаете того, что вам казалось понятным; я должен вам доказать то, что вы считали очевидным», – и если я в своих доказательствах буду опираться на посылки, которые им кажутся менее очевидными, чем заключения, то что подумают эти несчастные? Они подумают, что математическая наука есть не что иное, как произвольно собранная груда бесполезных умствований; и они либо почувствуют к ней отвращение, либо будут забавляться ею, как игрою, и в умственном отношении уподобятся греческим софистам.
Напротив, позже, когда ученик освоится с математическим суждением и ум его созреет в этой продолжительной работе, сомнения станут возникать сами собой, и тогда ваше доказательство будет своевременным. Оно разбудит новые сомнения, и вопросы предстанут перед юношей в той последовательности, в какой они представлялись нашим отцам; и это будет продолжаться до тех пор, пока он не разовьется в такой мере, что его будут удовлетворять только совершенно строгие определения. Недостаточно еще во всем сомневаться, нужно знать, почему возникает сомнение.
ebooksa