Все это есть опыт, но только опыт и может нас этому научить.
Достаточно привести несколько примеров из тех обычных действий, которые ученики без всяких колебаний производят ежедневно, и сделать на их глазах несколько простых и хорошо подобранных опытов.
Когда ученики прошли по всем этим обходным путям, можно перейти к изображению сил при помощи стрелок, но я считал бы желательным, чтобы воспитатели, развивая в учениках способность рассуждать, возвращались время от времени от символа к реальности. Не представит труда, например, иллюстрировать параллелограмм сил при помощи прибора, составленного из трех нитей, проходящих через блоки и натянутых посредством грузов, которые уравновешивают друг друга в одной и той же точке.
Зная силу, легко определить массу. На этот раз определение должно быть заимствовано из динамики. Иначе этого сделать нельзя, так как цель, которой здесь хотят достигнуть, заключается в уяснении различия между массой и весом. Здесь определение также должно быть подготовлено рядом опытов. У нас есть машина, которая как будто нарочно создана для того, чтобы познать, что такое масса, это – машина Атвуда. Затем следует напомнить о законах падения тел, о том, что ускорение тяжести остается одним и тем же для тяжелых и легких тел, что оно изменяется вместе с географической широтой и т. д.
Если вы мне теперь скажете, что методы, которые я пропагандирую, давно уже применяются в лицеях, я буду более обрадован, чем удивлен. Я знаю, что в общем у нас обучение математике поставлено удовлетворительно. Я не хочу, чтобы оно было нарушено, это меня опечалило бы, я желаю лишь медленных прогрессивных улучшений. Это обучение не должно подвергаться крутым колебаниям и капризу преходящей моды. Его высокая воспитательная ценность померкла бы в такой буре. Здравая и прочная логика должна по-прежнему лежать в его основании. Определение, внушаемое при помощи примеров, всегда необходимо, но оно должно подготовлять определение, а не заменять его; оно должно по крайней мере выяснить желательность такого логического определения в тех случаях, когда это последнее с пользой для дела может быть дано лишь на ступени высшего обучения.
Вы, конечно, понимаете, что изложенными соображениями я отнюдь не отказываюсь от того, что писал раньше. Я часто имел случай критиковать некоторые определения, которые я теперь сам же предлагаю. Эта критика сохраняет всю свою силу. Определения, о которых идет речь, могут быть только предварительными. Но пройти через эти определения необходимо.
Глава III. Математика и логика
Можно ли математику свести к логике, не обращаясь предварительно к тем принципам, которые ей, математике, свойственны? Существует школа математиков, которая со всей страстью и верой в дело стремится доказать это. Она выработала специальный язык, в котором нет больше слов, а имеются одни только знаки. Этот язык понятен только немногим посвященным, так что профаны склонны преклоняться перед категорическими утверждениями горячих адептов. Небесполезно, однако, ближе исследовать эти утверждения, чтобы убедиться, насколько оправдывается тот категорический тон, с которым они высказываются.
Но чтобы понять сущность вопроса, необходимо познакомиться с историческими деталями дела и в особенности вспомнить характер работ Кантора.
Понятие бесконечности уже давно было введено в математику. Но эта бесконечность была такой, какую философы называют потенциальной. В математике бесконечность обозначала количество, способное расти выше или ниже какого бы то ни было предела; это было изменяющееся количество, о котором можно было сказать, что оно перейдет все пределы, но нельзя было сказать, что оно их перешло. Кантор решил ввести в математику актуальную бесконечность, т. е. количество, не только способное перейти все пределы, но уже перешедшее через них. Он поставил себе вопросы вроде следующих: существует ли больше точек в пространстве, чем целых чисел? Существует ли больше точек в пространстве, чем точек на плоскости? И так далее.
Число целых чисел, число точек в пространстве и т. д. составляет то, что Кантор назвал кардинальным трансфинитным числом, т. е. таким количественным числом, которое больше всех обыкновенных количественных чисел. Кантор затем занялся сравнением этих кардинальных трансфинитных чисел. Размещая в соответствующем порядке элементы в совокупности, составленной из бесконечного числа таких элементов, он изобрел так называемые порядковые трансфинитные числа, на которых я не буду здесь останавливаться.
Многие математики последовали за Кантором и поставили ряд аналогичных вопросов. Они в такой степени освоились с трансфинитными числами, что готовы поставить теорию конечных чисел в зависимость от теории кардинальных чисел Кантора. По их мнению, чтобы вести преподавание арифметики по действительно логическому методу, необходимо начать с установления общих свойств кардинальных трансфинитных целых чисел, а затем выделить из них очень небольшой класс обыкновенных целых чисел. Этим способом можно было бы достигнуть цели, т. е. доказать все предложения, относящиеся к этому небольшому классу (т. е. всю нашу арифметику и нашу алгебру), не прибегая ни к какому началу, лежащему вне логики.
Этот метод, очевидно, противоречит всякой здоровой психологии. Конечно, не этим путем шел человеческий ум, создавая математику; и адепты нового метода, я полагаю, не думают ввести его на ступени среднего образования. Но по крайней мере логичен ли этот метод или, лучше сказать, безошибочен ли он? В этом можно усомниться.
Однако геометры, пользовавшиеся этим методом, очень многочисленны. Они собрали массу формул. Написав мемуары, в которых формулы не чередовались со словесными объяснениями, как это делается в обыкновенных математических книгах, а в которых, следовательно, такие объяснения совершенно отсутствуют, они вообразили, что освободились от всего того, что не представляет собой чистой логики. К несчастью, они пришли к противоречивым результатам. Это так называемые антиномии Кантора, к которым мы еще вернемся. Эти противоречия, однако, их не обескуражили, и они попытались внести такие изменения в свои правила, при которых обнаружившиеся уже противоречия исчезли; но мы при этом не приобрели уверенности в том, что не обнаружатся новые противоречия.
Настало время для справедливой оценки этих преувеличений. Я не надеюсь убедить упомянутых математиков: слишком долго дышали они своей атмосферой. Да и, кроме того, если вы опровергли одно из их доказательств, вы можете быть уверены, что оно возродится лишь в слегка измененном виде. Некоторые из доказательств уже несколько раз возрождались из пепла, наподобие той лернейской гидры[27], у которой вырастали новые головы. Геркулес выпутался из затруднения, потому что его гидра имела девять голов, если не одиннадцать; но здесь слишком много голов: они имеются в Англии, в Германии, в Италии, во Франции, и Геркулес должен был бы отказаться от состязания. Я обращаюсь поэтому только к непредубежденным людям, обладающим здравым смыслом.
В последние годы появилось много трудов, посвященных чистой математике и философии математики, имевших своей задачей выделить и изолировать логические элементы математического рассуждения. Эти труды были ясно изложены и исследованы в работе Кутюра, озаглавленной: «Основания математических наук».
По мнению Кутюра, новейшие труды, в особенности работы Рассела и Пеано, окончательно разрешили давний спор между Лейбницем и Кантом. Они показали, что не существует синтетического априорного суждения (этим именем Кант называл суждения, которые не могут быть ни доказаны аналитически, ни сведены к тождествам, ни установлены экспериментально); они показали, что математические науки целиком могут быть сведены к логике и что интуиция не играет в них никакой роли.
Все это Кутюра изложил в названном выше сочинении. Еще отчетливее высказал он это в речи, произнесенной на юбилее Канта, высказал так убедительно, что мой сосед сказал вполголоса: «мы видим ясно, что истекло столетие со дня смерти Канта».
Можем ли мы подписаться под этим решительным приговором? Я этого не думаю и постараюсь ниже показать, почему я этого не думаю.
Что нам сразу бросается в глаза в новой математике, так это ее чисто формальный характер. «Вообразим, – говорит Гильберт, – три рода вещей, которые мы назовем точками, прямыми и плоскостями; условимся, что прямая будет определяться двумя точками, и вместо того, чтобы сказать, что данная прямая определяется данными двумя точками, мы будем говорить, что она проходит через эти две точки или что эти две точки расположены на этой прямой». Что это за вещи, мы не только не знаем, но и не должны стремиться узнать. Нам этого не нужно, и всякий, кто никогда не видел ни точки, ни прямой, ни плоскости, так же легко мог бы построить геометрию, как и мы. Слова «проходят через» или «расположены на» не должны вызывать у нас никакого образа, ибо первые являются синонимом слова «определяться», вторые – синонимом слова «определять».
ebooksa