Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Возведите в куб одну треть коэффициента при x; добавьте получившееся число к квадрату половины постоянной уравнения; извлеките из всего этого квадратный корень. Далее повторите описанное и прибавьте к одному из результатов число, уже возведенное в квадрат, а из другого вычтите половину того же… Затем отнимите кубический корень первого от кубического корня второго, и останется значение x.

Довольно сложно, правда? Но в реальности это просто геометрия. Сначала Кардано представляет огромный куб, который делит на шесть блоков и кубов поменьше, – по сути, он занимается достройкой квадрата в 3D. Он знает размеры каждой из фигур и знает, что сумма их объемов дает объем большого куба, который они составляют. Он приводит это к квадратному уравнению и получает ответ[81]: x = 2. Как видите, это легко проверить. Именно поэтому математические дуэли так нравились зрителям: было сразу понятно, преуспели ли противники в своих трудах.

В “Великом искусстве” Кардано хотел представить универсальное решение, которое подходило бы для любого кубического уравнения. Но это было нелегко, поскольку ему приходилось прорабатывать множество вариантов. Например, по отдельности разбирать такие вариации, как x³ + mx = n и x³ + n = mx. Даже имея лишь базовую математическую подготовку, сегодня мы перестроили бы эти уравнения так, чтобы они повторяли друг друга по форме при отрицательном значении m или n. Однако на том этапе математической истории еще не было устоявшейся формы для записи уравнений в разных формах, а сама идея существования отрицательных чисел по-прежнему вызывала дискомфорт. Потому Кардано и разбирал два этих уравнения в разных главах (и потому Тарталья и разработал разные решения для x³ = px + q и x³ + q = px).

Но в конце концов хитрость в стиле достраивания квадрата и подмены x целым выражением позволила вывести универсальное решение для уравнения, которое сегодня мы записали бы так:

ax³ + bx² + cx + d = 0

Благодаря описанной хитрости оно превращается в уравнение, которое можно решить с помощью формулы Кардано для кубического уравнения пониженной степени. В “Великом искусстве” подробно описывается, как Феррари нашел подобный способ решения уравнений четвертой степени – с x⁴.

Что насчет уравнения пятой степени, в котором фигурирует грозный x⁵? Кардано и Феррари предположили, что привычный фокус с подстановкой выражения на место x поможет решить и его. Но в итоге они признали, что не сумели найти подходящий метод. И правильно сделали, когда отказались от дальнейших его поисков. Почти триста лет спустя, в 1824 году, норвежский математик Нильс Абель доказал, что решить такое уравнение методом подстановки невозможно.

Но уравнение пятой степени все же поддается решению. Для этого нужны так называемые эллиптические функции (или эллиптические кривые), которые сегодня применяются в криптографии – науке о хранении тайн. Мы поговорим об этом позже, а пока давайте рассмотрим, где в наши дни находится применение квадратным, кубическим и уравнениям четвертой степени. На первый взгляд, это продолжение труда Тартальи. Но если Заика описывал кривые траектории полета пушечных ядер, то современные новаторы чаще занимаются изгибами физических тел, например автомобиля “Форд Таурус”. И здесь мы видим, как алгебра по-прежнему помогает решать некоторые из самых насущных проблем продвинутого технологического общества.

Изгибы мира

В 1974 году галлон бензина в США стоил около 40 центов. В 1981 году тот же объем бензина стоил уже 1 доллар 31 цент. Американские автопроизводители поняли, что им нужно вмешаться в ситуацию, если они хотят спасти автомобильный транспорт. Но как? Пересмотреть конструкцию двигателей, чтобы сделать их более производительными, оказалось слишком сложно. Гораздо проще было повысить аэродинамику автомобилей.

Первым в полной мере аэродинамическим американским семейным автомобилем стал “Форд Таурус”, выпущенный в 1986 году. Сегодня в это сложно поверить, но американцам тех времен он казался совершенно непривычным – настолько непривычным, что в 1987 году Пол Верховен даже сделал его машиной Робокопа в своем фильме о том, как полиция будущего проводит эксперимент по созданию киборга. “Таурусу” уже стукнул год, но внешне он все еще оставался автомобилем будущего. Почему? Все дело в изгибах. Американские автомобили, выходившие до “Тауруса”, точнее всего будет назвать угловатыми. Прямые линии их кузова облегчали производство, а то, что угловатость повышала сопротивление воздуха и снижала топливную эффективность, никого не беспокоило: бензин стоил дешево. По другую сторону Атлантики, однако, все было иначе.

“Форд Таурус” 1986 года. IFCAR, изображение из открытого источника, via Wikimedia Commons

Из-за особенностей налогообложения топливо в Европе всегда стоило дороже. В 1970-х годах цены на нефть росли, и европейцам приходилось пускать все больше средств на эксплуатацию своих автомобилей. Но они нашли частичное решение проблемы и стали производить автомобили с обтекаемым аэродинамическим кузовом.

К счастью для Ford, в компанию недавно перешел работать американский дизайнер Джек Телнак, который прежде работал в Европе. Находясь по другую сторону океана, он наблюдал за эволюцией топливосберегающих изгибов, которые мы сегодня считаем отличительной чертой европейского автомобильного дизайна.

Инженеры Ford не могли просто ввести уравнение нужной кривой в формовочный станок. Не могли они и загрузить в компьютер тысячи точек, чтобы построить каждую кривую в проекте, – это было бы крайне неэффективно. Им необходимо было найти другой способ создания требуемых кривых. Но Телнак знал, что к началу 1960-х годов два французских автомобильных инженера-конструктора уже решили эту проблему.

Хотя эти кривые назвали кривыми Безье, их, пожалуй, стоит считать совместной разработкой Пьера Безье из Renault и Поля де Кастельжо из Citroën. Большую часть математических расчетов провел де Кастельжо. Но в машинном зале новую разработку первым применил Безье, и именно он дал другим возможность последовать их примеру.

Чтобы понять, что такое кривая Безье, представьте два прямых отрезка, формирующих две стороны треугольника. Постройте их в любом месте листа под любым углом друг к другу. Назовите один AB, а другой – BC. Теперь разделите отрезки на равное число секций – скажем, на десять. Пронумеруйте их от A = 0, чтобы B = 10, а затем от B = 0, чтобы C = 10. Теперь постройте прямые, соединяющие 1 с 1, 2 с 2 и так далее.

Кривая Безье, построенная из прямых

Видите кривую? Вообще-то ее там нет, ведь вы построили одни прямые. Но каждая из ваших прямых – “касательная” к кривой, то есть прямая, всего в одной точке соприкасающаяся с кривой, точная форма которой определяется положением A, B и C относительно друг друга.

Безье назвал точку B контрольной, поскольку при сдвиге B получается другая кривая. При одной контрольной точке кривая всегда задается квадратным уравнением, содержащим значения A, B и C. Если добавить еще одну контрольную точку, получится кривая, которая задается кубическим уравнением. Если добавить третью – кривая четвертой степени. Если вам не хочется добавлять контрольные точки, можно добавлять кривые. Подобно тому, как Кардано и Феррари нашли решение уравнения четвертой степени, приведя его к кубическому уравнению (а кубическое – к квадратному), вы можете построить кубическую кривую Безье, установив, как взаимодействуют две квадратные кривые, а кривую четвертой степени – с помощью двух кубических.

Обтекаемый “Форд Таурус” был обласкан критиками и – что важнее, учитывая катастрофическое падение позиций Ford на автомобильном рынке, – стал отлично продаваться. Напрашивается вполне резонный вывод о том, что алгебра спасла американскую автомобильную промышленность[82].