Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

В разные годы над алгеброй гонки вооружений поработало немало математиков, но Джон Нэш стоит на ступеньку выше всех остальных. Дело в том, что он доказал существование знаменитого “равновесия Нэша” – алгебраического способа найти лучшее решение дилеммы в условиях, когда две стороны не доверяют друг другу. В нем задействуется сложная форма линейной алгебры и описывается сценарий, в котором противники оказываются в ситуации, когда ни один из них не может улучшить свое положение. Равновесная стратегия может быть неоптимальной для конкретного игрока, но при этом единственной, в которой ситуация не становится хуже. Равновесие Нэша не удовлетворяет ни одну из сторон, но все-таки ни одна из сторон не собирается ничего предпринимать, поскольку сложившееся положение – меньшее из зол.

Выявив условия для существования равновесия Нэша и описав стратегии, которые позволяют к нему прийти, Джон Нэш получил Нобелевскую премию по экономике и вошел в историю, хотя его вклад и остается недооцененным. Нэш предоставил обеим сторонам конфликта в холодной войне неопровержимое доказательство того, что им следует смириться с прохладной разрядкой и больше не предпринимать никаких шагов. По сути, он сделал мир безопаснее с помощью алгебры. Сдается мне, Никколо Тарталье это пришлось бы по нраву.

Последняя теорема Ферма

В заключение мне хочется заверить вас, что порой даже простейшая на первый взгляд алгебра заводит профессиональных математиков в тупик. Возможно, вы слышали о последней теореме Ферма? Описать ее очень просто, однако на поиск решения у человечества ушло несколько сотен лет.

Французский математик Пьер Ферма был великим ученым, но отказывался публиковать свои работы. После смерти Ферма в 1665 году его сын Самуэль решил собрать все бумаги отца и опубликовать наиболее значимые выводы. Просматривая экземпляр “Арифметики” Диофанта из отцовской библиотеки, Самуэль обнаружил на полях заметку на латыни. В ней говорилось: “Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него”.

Сегодня мы записываем утверждение Ферма следующим образом: в уравнении

xⁿ + yⁿ = zⁿ

невозможно найти x, y и z при n больше 2, если считать, что корнями могут быть только целые числа, отличные от нуля.

Ферма утверждал, что может доказать различные теоремы, и во множестве других заметок, и математики, изучавшие его бумаги, в конце концов смогли найти все доказательства, за исключением доказательства, связанного с уравнением Диофанта. Так эта задача и стала называться последней теоремой Ферма.

Сразу ясно, что при n = 2 у нас получится пифагоров треугольник со сторонами 3, 4 и 5, поскольку 3² + 4² = 5². Неужели так сложно найти другие корни? Этим вопросом математик Эндрю Уайлс, который в итоге все же доказал последнюю теорему Ферма, задавался еще с 1963 года, когда в 10 лет нашел книгу о задаче в местной библиотеке. “В тот момент я понял, что никогда не забуду об этом, – сказал он. – Я должен был ее доказать”[94].

Уайлс работал над задачей до 1995 года – как одержимый, в одиночестве, в тайне от всех. Теперь он стал знаменитостью в математическом мире, и все-таки даже ему не под силу ответить на один вопрос об этой теореме: правда ли у самого Ферма имелось доказательство, которое оказалось утраченным?

Несомненно, оно отличалось бы от того, которое нашел Уайлс. Математических техник, использованных Уайлсом, во времена Ферма просто не существовало. Следовательно, если у Ферма действительно имелось доказательство теоремы, в нем применялась какая-то математическая хитрость, которую можно было реализовать в XVII веке, но которую впоследствии никто больше не применял. Кажется маловероятным, правда? И все же остальные доказательства, о которых говорил Ферма, нашлись в его бумагах. Почему же это должно оказаться вымышленным?

Во многих отношениях последняя теорема Ферма позволяет составить лишь поверхностное представление о том, насколько сложной может быть алгебра. Математики могут придумать гораздо больше уравнений, чем решить, и поэтому принцип теоретической физики заключается не в том, чтобы решать алгебраические уравнения, описывающие взаимодействие сил и частиц во Вселенной, но в том, чтобы находить приблизительные, приемлемые решения. Один из величайших современных физиков Эдвард Виттен однажды назвал квантовую теорию поля, наше основополагающее математическое описание Вселенной, “научной теорией XX века, в которой используется математика XXI века”[95]. Что он имел в виду? Он хотел сказать, что остаток этого века нам, возможно, придется потратить на разработку алгебраических методов, необходимых для того, чтобы мы смогли понять устройство Вселенной. Может, алгебра и известна человечеству на протяжении уже тысяч лет, но развитие ее еще не закончено.

Учитывая, насколько она полезна, это, пожалуй, неплохо. Как мы увидели, алгебра уже дала нам способ решить множество логистических задач – от расстановки палаток для размещения батальона до разработки алгоритма для поддержания мира во всем мире. Она подобна фонарю, который помогает нам в наших поисках, – и искать мы можем хоть неуловимые частицы, хоть документы на веб-сервере. Алгебра решает вопросы налогообложения, дает нам возможность слетать в отпуск и показывает, по каким орбитам движутся небесные тела. Как знать, что принесет нам алгебра будущего, если мы продолжим ее изучение?

Хотя нам и хочется это выяснить, мы можем оценить и готовый продукт, называемый математическим анализом. Мы с поразительной быстротой изобрели, развили и применили эту область математики, пересмотрев свой метод работы с вещами, которые движутся и меняются. По сути, он сформировался всего за столетие и привел к революциям в науке, медицине, финансах и – конечно – военном деле. Можно даже сказать, что математический анализ сыграл решающую роль во вступлении США во Вторую мировую войну. Впрочем, как мы увидим, математический анализ с самого своего зарождения находился на передовой множества битв.

Глава 4. Математический анализ. История инженерии

Споры о том, кто изобрел математический анализ, не утихают по сей день, но сомнений в том, что он изменил мир, ни у кого не возникает. Подчинив себе бесконечно большое и бесконечно малое, математический анализ привел к вступлению США во Вторую мировую войну и стал двигателем развития всемирной финансовой системы. Он также открыл возможности для строительства городов и мостов и для создания климатических прогнозов. Его ценность понятна: он позволяет нам предсказывать то, что кажется непредсказуемым. Немало людей заметило это и нашло ему применение. Писатель Лев Толстой, конструкторы истребителя “Спитфайр”, ученые-медики, сдержавшие эпидемию ВИЧ, и сам Альберт Эйнштейн – вот лишь некоторые из тех, кто летал на крыльях математического анализа.

В июле 1940 года Институт Гэллапа поинтересовался у американских граждан, готовы ли они поддержать вступление США в войну против Германии и Италии. 86 % ответили отрицательно. К сентябрю, даже после первого призыва в армию в мирное время, эта цифра снизилась до 48 %[96]. Что же узнали американцы за период с июля по сентябрь? То, что Гитлера нельзя считать неуязвимым[97].

Они узнали об этом в ходе битвы за Британию, которая гремела в небесах над Англией и Ла-Маншем в августе и сентябре. Королевские ВВС так эффектно противостояли немецкому люфтваффе, что американский журналист Ральф Ингерсолл совершил опасное путешествие через Атлантику в Лондон, чтобы выяснить, что происходит на месте событий. Вернувшись домой, он написал, что увидел “гражданское население, которое держалось, несмотря на почти постоянный, беспрерывный ужас, только благодаря практически невероятным отваге и вере”. Ингерсолл превозносил британцев до небес:

Недаром Адольф Гитлер неистовствует из-за безрассудства британцев. Такому трусу, как он, наверняка непросто понять, откуда в них взялась такая смелость. Понять ее вообще крайне сложно. Но отрицать невозможно. Лондонцы продержались, не поддаваясь панике, изо дня в день хоронили погибших и перевязывали раненых, изо дня в день занимались своими делами, разгружали суда в хаосе разрушенных бомбардировкой доков, открывали магазины, тушили пожары, восстанавливали телефонные линии и водопроводные магистрали, расчищали улицы, работали на заводах и фабриках[98].

В конце концов, написал он, они пришли к победе, которая не забудется никогда. “Битва, которая состоялась в небе над Лондоном с 7 по 15 сентября, вероятно, войдет в историю как не менее значимая, чем битвы при Ватерлоо и при Геттисберге”, – отметил Ингерсолл. Впрочем, он почти наверняка не понял, что победу в этой битве британцам принес математический анализ.