Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Я потрясен тем, что Амалия Эмми Нётер – первая женщина, с которой мы встречаемся лицом к лицу на страницах этой книги. Женщинам в математике приходилось преодолевать такие предубеждения, что на математической карьере Нётер едва не был поставлен крест. Ее отец преподавал математику в университете, и оба ее родителя хотели, чтобы все их дети тоже занялись наукой. Но братьям Нётер пришлось гораздо легче.

Эмми Нётер родилась в Эрлангене, в Германии, в 1882 году. Она была невероятно умна, но когда ей пришло время поступать в университет, оказалось, что дорога туда ей закрыта. Университет Эрлангена, где работал ее отец, еще не принимал женщин. В конце концов она смогла получить высшее образование, но снова оказалась в тупике: ни один университет не готов был предложить ей оплачиваемую должность, чтобы она могла заниматься исследованиями или преподавать математику.

Нётер так любила свой предмет, что семь лет преподавала в Эрлангене бесплатно. Продвинуться дальше ей удалось лишь тогда, когда о ее блестящих способностях узнали ведущие немецкие математики Давид Гильберт и Феликс Клейн, которые предложили ей позицию в своем математическом институте при Гёттингенском университете. Четыре года Нётер работала ассистенткой Гильберта и не получала жалованья. Лишь в 1922 году ей наконец удалось занять в Гёттингене оплачиваемую должность. К тому времени она уже совершила ряд своих величайших открытий, которые, пожалуй, можно причислить к величайшим достижениям во всей истории математики[85].

Если вам хочется понять, насколько именно Нётер была хороша в математике, вот факты. После того, как в пятьдесят три года она безвременно скончалась из-за осложнений после хирургической операции, Эйнштейн написал колонку для The New York Times, в которой заявил, что “фройляйн Нётер была величайшим творческим гением математики, явившимся миру с тех пор, как женщины получили доступ к высшему образованию”[86]. Впрочем, это унизительный комплимент: можно смело сказать, что Нётер была величайшим алгебраистом своего времени в принципе – как среди женщин, так и среди мужчин. Более того, Эйнштейн это знал: когда у него возникли затруднения с одной из частей его общей теории относительности, с которой ему помогла Нётер, он написал Давиду Гильберту и попросил его “поручить мисс Нётер объяснить [ему] это”[87].

Теорема Нётер позволяет превратить алгебраические группы Галуа – и многое, что было впоследствии открыто в алгебре, – в сложную систему классификации и категоризации. Такое впечатление, что остальные ученые занимались своими узкими областями науки, а Нётер сумела понять, как объединить их вклады в науку, чтобы их открытия дополняли друг друга, и как соткать полотно из отдельных нитей. Это имело важные следствия и для других областей, например для топологии – математики, описывающей изменения свойств геометрических фигур при растягивании и скручивании. В лекции, прочитанной в 1996 году, немецкий тополог Фридрих Хирцебрух отметил, что Нётер едва коснулась этой области, но “опубликовала полуфразу и произвела фурор”[88].

Абстрактная алгебра Нётер позволяет нам с помощью уравнений искать новые законы, частицы и физические силы. Симметрия не нарушается без причины, и обычно причиной становится сила. Так физики обычно и узнают о существовании неизвестных прежде сил природы. Например, в начале 1960-х годов физик Марри Гелл-Ман изучал симметрии в абстрактной алгебре, описывающей атомное ядро. Он обнаружил, что наблюдаемые симметрии позволяют сделать вывод о существовании других элементарных частиц в дополнение к протонам и нейтронам, которые содержатся в ядре атома. В 1964 году он опубликовал статью, в которой предсказал существование пока не обнаруженных частиц, из которых состоят протоны и нейтроны. Он назвал их словом, которое приглянулось ему в “Улиссе” Джеймса Джойса. Вскоре экспериментаторы обнаружили “кварки” Гелл-Мана, а сам он впоследствии получил Нобелевскую премию.

Кроме того, благодаря абстрактной алгебре Нётер Питер Хиггс с коллегами в 1960-х годах заметили, что в глубинах физики частиц должна скрываться еще одна пока неизвестная частица. Неуловимый бозон Хиггса был наконец открыт в 2012 году, и Хиггс также стал нобелевским лауреатом.

Бозон Хиггса оказался последним кусочком в мозаике физики частиц. Оказывается, весь набор частиц можно выявить путем изучения симметрии и законов сохранения в соответствии с абстрактной алгеброй Нётер. Может, сначала алгебра и была лишь инструментом для расчета налогообложения, но теперь благодаря ей мы знаем, как устроена Вселенная.

Как получить желаемое

Рассмотрим область алгебры, которой вы, возможно, пользовались буквально сегодня. Эта история начинается в 1998 году, когда два студента-информатика из Стэнфордского университета опубликовали статью, во введении к которой было написано:

Автоматизированные поисковые системы, основанные на сопоставлении ключевых слов, обычно выдают слишком много низкокачественных совпадений. Хуже того, некоторые рекламодатели пытаются привлечь внимание людей, принимая меры, направленные на дезориентацию автоматизированных поисковых систем. Мы создали масштабную поисковую систему, которая решает многие проблемы существующих систем[89].

Авторы статьи, Сергей Брин и Лоуренс Пейдж, назвали свою систему Google, “потому что часто так ошибочно называют гугол, или 10¹⁰⁰, и такое название прекрасно соответствует нашей цели создавать поисковые системы огромных масштабов”. Совсем скоро их поисковая система огромного масштаба завоевала мир. Уже в 2006 году слово google вошло в “Оксфордский словарь английского языка” как глагол, обозначающий распространенный способ поиска информации.

В алгоритме PageRank, используемом Google, нашлось великолепное применение так называемой линейной алгебре[90]. Это алгебра, в которой переменные (в нашем случае – сведения об интернет-страницах) обрабатываются без возведения в степень – вторую, третью и так далее. Уравнение y = 4x относится к линейной алгебре, а y = x² – нет.

Линейная алгебра не нова. Нам известны китайские тексты по линейной алгебре, написанные еще до наступления второго тысячелетия до нашей эры. В них показано, как решать системы уравнений, в совокупности содержащие все данные, необходимые для установления отношений между переменными. Такие системы складываются в то, что в китайских текстах называлось “волшебными квадратами”. В современной линейной алгебре используются всевозможные технические термины, от которых вам может стать не по себе: векторы и матрицы, собственные векторы и собственные числа. Говорят даже, что своим могуществом Google обязан “собственному вектору ценой в 25 миллиардов долларов”. Но нам достаточно знать, что уравнения линейной алгебры, по сути, представляют собой математические таблицы, где с помощью единственной операции может обрабатываться гигантский массив данных.

Алгоритм Google – лишь одно из множества прекрасных применений линейной алгебры, и можно с уверенностью сказать, что, не будь ее, нынешний мир не был бы таким, каким мы его знаем. Сегодня мы прекрасно справляемся с одновременной обработкой множества переменных и без труда определяем отношения между ними, чтобы оптимизировать конкретный результат их действий. Это не только позволяет нам осуществлять поиск в Google – тот же принцип лежит в основе работы авиакомпаний: расписания полетов, графики эксплуатации воздушных судов, маршруты самолетов, состав экипажей, назначение выходов на посадку, графики профилактического обслуживания, планирование меню, планирование обучения, оформление и обработка багажа – все это задачи на оптимизацию, решаемые с помощью линейной алгебры[91]. Не забудьте поблагодарить линейную алгебру, когда в следующий раз получите питание на борту[92].

FedEx и UPS применяют линейную алгебру для поиска оптимальных программ прокладывания маршрутов для доставки отправлений. Не стоит забывать также о шопинге и его логистике: как осуществляется доставка товаров в ваш супермаркет и как продукты попадают к вам домой, если вы покупаете их онлайн? И здесь на помощь приходит линейная алгебра. Ей также находится применение в здравоохранении: расписание операций, назначение хирургов, планирование визитов к врачам и доставка медикаментов – это современные вариации задачи об организации копейщиков и алебардистов, находящихся у вас в распоряжении. Даже то, каким образом результаты поиска в Google выводятся на экран вашего компьютера, – логистика маршрутизации информации в интернете – определяется линейной алгеброй. Да, сегодня все это по большей части уже прописано в программах, подобно тому как тригонометрия запрограммирована в системах автоматизированного проектирования, которыми пользуются архитекторы. И все же ваша повседневная жизнь не обходится без линейной алгебры. Беспрецедентной легкостью современной жизни мы во многом обязаны математикам, которые нашли алгебраические решения почти для всех наших логистических проблем.

Можно даже сказать, что только благодаря линейной алгебре человечество и сумело дожить до XXI века, не уничтожив себя. Холодная война – 44 года опасного, но все-таки по большей части мирного противостояния США и СССР – во многих отношениях может считаться детищем этой области математики.

По окончании Второй мировой войны, когда отношения между США и СССР свелись к тихим угрозам взаимного ядерного уничтожения, математики по обе стороны конфликта посвятили себя поиску путей к тому, чтобы эти угрозы никогда не исполнились. Самым известным из них был Джон Форбс Нэш, о котором написана книга “Игры разума”, а также снят одноименный оскароносный фильм с Расселом Кроу. В фильме показано, как Нэш постепенно сходил с ума и какое влияние психическая болезнь оказывала на его семью и карьеру. К несчастью, за кадром остается то, каким образом его труды – и труды множества других ученых – не позволили нам провалиться в бездну полномасштабной ядерной войны.

Возможно, вам знакома фраза “гарантия взаимного уничтожения”. Казалось бы, при таком условии избежать ядерной войны несложно: если обе стороны накопят достаточное количество ядерного оружия – которое, кстати, создается с помощью абстрактной алгебры, – никто не захочет наносить первый удар, поскольку ядерный ответ и последующая серия ударов сделают планету непригодной для жизни. Однако на деле все оказывается гораздо сложнее.

Задействованная здесь алгебра входит в область исследований, называемую теорией игр. Несмотря на фривольное название этой сферы, работавших в ней математиков всегда воспринимали всерьез. В эпоху, когда никому не позволялось встречаться с коллегами по другую сторону “железного занавеса”, обе стороны понимали, что вероятность взаимного уничтожения снизится, если дать этим математикам возможность поговорить друг с другом. В 1971 году в Вильнюсе, в Литве, состоялась беспрецедентная встреча специалистов по теории игр из Америки, Европы и Советского Союза. Прошел всего год с момента подписания СССР, США и другими странами Договора о нераспространении ядерного оружия. Все стороны хотели сохранить мир, и для этого им в том числе необходимо было организовать такую встречу для своих математиков[93].

Здесь невозможно описать, какой вклад в математику они внесли. Многие их выкладки настолько сложны, что их подробно не объясняют даже студентам-математикам, пока они учатся на младших курсах. Одни из них связаны с выработкой наилучшего ответа на угрозу при всех смягчающих обстоятельствах. Другие – с оптимизацией объемов ядерных запасов в условиях взаимного недоверия. Третьи позволяют понять, в разработку каких контрмер стоит вкладываться и как именно их применять.