При этом бесконечность остается элементом математического числового ландшафта. Так, существует бесконечное число натуральных чисел (0, 1, 2, 3, 4…). Существует и бесконечное число четных чисел. И бесконечное число нечетных. Уверен, это не покажется вам странным по существу. Странно то, что с математической точки зрения три этих бесконечности одинаковы по размеру, хотя количество натуральных чисел должно равняться сумме всех четных и нечетных чисел.
Впрочем, некоторые бесконечности действительно больше других. Например, в 1874 году математик Георг Кантор доказал, что “действительных” чисел больше, чем натуральных. Иными словами, он продемонстрировал, что бесконечность всех целых чисел и всех дробей, находящихся между ними, больше, чем бесконечность одних целых чисел. Позже он показал, что существуют и бо́льшие бесконечности – и их бесконечно много. И после этого у него случился нервный срыв.
Если вас беспокоит бесконечность бесконечностей, пусть утешением вам послужит то, что большинство современников Кантора тоже не хотели и не могли постичь эту идею, – и причиной его нервного срыва стали не сами выкладки, а неприятие его трудов. Однако, как мы уже говорили, человеку не свойственно мыслить таким образом. Для этого нужно прикладывать невероятные усилия. Если нам от природы недоступен даже счет дальше трех, то готовность упорно идти вперед, к бесконечности бесконечностей, которую невозможно в полной мере постичь, заслуживает восхищения.
Если вы в состоянии продолжить, давайте обсудим еще одну умопомрачительную вещь, прежде чем перейдем к самому математическому анализу: мы можем также идти по бесконечности и в обратную сторону. Как мы упоминали, наряду с бесконечно большим есть и бесконечно малое. Или стремящееся к нулю.
Представьте, что режете огурец на все меньшие и меньшие кусочки. Сначала разрежьте его пополам, затем разделите половину на две четверти. После этого возьмите одну из четвертей и разрежьте ее на две восьмых от целого огурца. Возьмите одну восьмую и продолжайте резать. В конце концов – в теории – у вас получится такой маленький кусочек, что описать его не получится никаким числом, даже дробным. Это и есть бесконечно малое: то, что стремится к нулю, но нуля не достигает. Меньше только пустота. Меньше бесконечно малого лишь сам ноль. Деля на бесконечно малые единицы время, расстояние и что угодно еще, мы работаем в сфере математического анализа.
Первым это попытался сделать немецкий астроном Иоганн Кеплер. Но цель его состояла не в том, чтобы расширить наши представления о звездах. Он хотел сэкономить деньги на собственной свадьбе[105].
В 1613 году Кеплер женился во второй раз. Свадьба состоялась в австрийском городе Линце, и Кеплер договорился, чтобы виноторговец доставил на торжество бочку вина. Но его поразило то, каким образом торговец рассчитал стоимость бочки. Сначала он положил бочку на борт отверстием вверх. Затем он вставил в отверстие палку и протолкнул ее вниз и вбок, пока палка не соприкоснулась с местом, где борт соединяется с днищем. Стоимость вина зависела от того, какая часть палки увлажнится вином в бочке.
Кеплер уже рассчитал орбиты планет, описал различные оптические явления, нашел оптимальный способ вписывать друг в друга сферы и доказал, что снежинкам свойственна гексагональная симметрия. Он сразу понял, что можно найти и более эффективный способ определять стоимость вина. Он отметил, что в длинной узкой бочке вина гораздо меньше, но при этом увлажнить в ней можно такой же фрагмент палки. Сначала он просто вступил в спор с торговцем, но после свадьбы написал на основе этой дискуссии книгу “Новая стереометрия винных бочек”, которую опубликовал в 1615 году. В ней он делит бочки на все меньшие и меньшие круглые фрагменты, чтобы рассчитать их объем. Он описывает, как объем складывается из бесконечного числа бесконечно малых фрагментов.
Он также попытался определить оптимальную форму винной бочки – необходимые пропорции для максимизации ее объема. Он составил кубическое уравнение, показывающее, как объем бочки меняется при изменении ее длины (при неизменном диаметре), и определил, что максимальный объем получается в экстремальной точке этой кривой, когда длина составляет 2/3 от диаметра. Как выяснилось, почти такая пропорция и использовалась при производстве бочек в Австрии.
В этой истории – весь математический анализ. Во-первых, он позволяет понять, как меняется одна величина при изменении другой величины, связанной с ней. Это могут быть объем бочки и ее параметры, или расстояние, преодолеваемое автомобилем, скорость которого постоянно растет при разгоне из неподвижного состояния, или число людей, заболевающих при постепенном увеличении заразности вируса. Во-вторых, он дает нам возможность находить максимальные и минимальные значения. Какая доза препарата от рака окажется наиболее действенной? Какой объем топлива дает “Боингу-747” максимальную дальность полета, учитывая, что он расходует топливо на лету, но требует больше топлива на милю, когда его масса больше?
Работа Кеплера о винных бочках, как правило, считается предтечей математического анализа, но и сегодня не утихают споры о том, кто изобрел его на самом деле. Дело в том, что во второй половине XVII века долгий и ожесточенный диспут Исаака Ньютона и немецкого ученого-энциклопедиста Готфрида Лейбница так и не пришел к удовлетворительному разрешению. Впрочем, ни один из этих ученых не начинал с нуля. Даже если не брать в расчет работу Кеплера о винных бочках, в первой половине века Пьер Ферма занимался вычислением площадей под кривыми и находил максимумы и минимумы этих кривых. Как мы увидим, это неотъемлемые компоненты математического анализа, и сам Ньютон утверждал, что пришел к его ранней форме “от предложенного Ферма способа построения касательных”. Рене Декарт, услышав это, перевернулся бы в могиле, ведь он сам провел подобную работу и долго спорил с Ферма о том, кто все-таки был первым. Но итальянский математик Бонавентура Кавальери также работал с бесконечно малыми величинами, закладывая фундамент для трудов Лейбница и Ньютона, и тем же занимался английский ученый Джон Валлис, который обобщил свои выводы в книге “Арифметика бесконечного”, опубликованной в 1656 году. Иными словами, Лейбниц и Ньютон превзошли на этом поприще прочих, но сами при этом отталкивались от работ множества других ученых. Но хватит споров – пора переходить к делу.
Математический анализ, по сути, продолжает алгебру: это набор инструментов для изучения прямых и кривых, задаваемых алгебраическими выражениями. Впрочем, в школе нам не всегда об этом рассказывают, и мы знакомимся с математическим анализом лишь как с рядом правил для выполнения абстрактных задач. Например, мы учимся вычислять кривизну графика по квадратному уравнению, не понимая толком, зачем нам вообще это нужно. Начнем с одного практического применения математического анализа: вычисления тангенса угла наклона, или крутизны, кривой, показывающей распространение смертельной инфекции по человеческому организму. Как выяснилось, в этой сфере математический анализ сыграл важную роль, защитив нас от особенно опасных вспышек вируса иммунодефицита человека (ВИЧ).
Легко забыть, как плохи были наши дела в те годы, когда ВИЧ был максимально опасен. После регистрации первых случаев заражения в 1981 году ВИЧ быстро стал бичом человечества по всему миру. К 2007 году ВИЧ/СПИД убил уже более полумиллиона американцев, но США все еще отказывались признать, что в стране есть люди, зараженные вирусом. В 2009 году в Вашингтоне ВИЧ был более распространен, чем в Западной Африке – на 3 %, – и департамент здравоохранения округа Колумбия сообщил, что развивается “тяжелая и генерализованная эпидемия”[106].
Сегодня, чуть более десятилетия спустя, ВИЧ уже не смертный приговор. Люди с ВИЧ живут относительно нормально. Что же случилось? Математический анализ.
В 1989 году Алан Перельсон с помощью математического анализа построил модель поведения ВИЧ в человеческом организме и показал, как вирус борется с иммунной системой человека[107]. Он упростил ситуацию всего до четырех дифференциальных уравнений, описывающих, что происходит в организме при постепенном изменении концентрации вируса в крови в отсутствие лечения. Дифференциальные уравнения предполагают проведение “дифференцирования”, лежащего в основе математического анализа. По сути, это определение темпов изменения чего-либо в конкретной точке.
Крутизна меняется при движении по склону
Можно также представить дифференцирование как способ вычислить, какое усилие необходимо для того, чтобы взбежать на холм. Бег вверх по склону, как на рисунке, требует разных усилий на разных участках пути. Сначала склон крутой, а затем становится более пологим. Склон холма – это кривая с рядом разных углов наклона: сначала они велики, но уменьшаются по мере вашего продвижения по холму. Дифференцирование позволяет определить, какое усилие вам необходимо приложить в конкретной точке склона, чтобы взбежать на холм.
Сначала, как правило, берется алгебраическая функция, задающая кривую. Чтобы вычислить кривизну склона, нужно определить “отношение приращения функции к приращению ее аргумента”: вертикальное изменение
Эта кривая задается уравнением:
ebooksa