Страх физики

Размышления о числах в терминах того, что эти числа представляют, — самое захватывающее из всех занятий. Именно на этом специализируются физики. Я не возьмусь утверждать, что математические размышления доставляют чувство какого-нибудь особенного комфорта или являются магическим лекарством от математического бессилия, но играть с числами, выясняя, откуда то или иное число появилось в нашем мире и что за ним стоит, достаточно интересно, очень полезно и совсем не сложно. По крайней мере, необходимо научиться оценивать порядок физических величин, а это уже позволит делать важные выводы, не проводя точного количественного анализа. В этой главе я нарушу максиму Стивена Хокинга, очень надеясь, что не разорю своего издателя, и покажу, как физики манипулируют числами, чтобы сделать задачу более понятной, почему они делают это именно так, а не иначе, и что они ожидают получить от этого занятия. Основную идею можно сформулировать так: «мы используем числа, чтобы сделать вещи не сложнее, чем они должны быть».

Прежде всего следует отметить, что физические явления охватывают чрезвычайно широкий спектр возможных числовых значений и очень большие или очень маленькие числа могут появляться при решении даже простейших задач. Самое трудное при работе с такими числами — это подтвердит любой, кто хотя бы раз пытался перемножить столбиком два восьмизначных числа, — не запутаться в количестве цифр. К сожалению, часто самые трудные вещи являются одновременно и самыми важными, поскольку количество цифр определяет порядок числа. Допустим, мы умножаем 40 на 40. Какой ответ будет ближе к правильному: 160 или 2000? Ни одно из этих чисел не является точным значением произведения, но второе гораздо ближе к правильному ответу 1600. Если бы работодатель, пообещав платить вам по 40 долларов в час, заплатил за 40 часов работы только 160 долларов, тот факт, что он потерял всего лишь один нолик, был бы для вас слабым утешением, не правда ли?

Чтобы избежать подобных ошибок, физики придумали разделять числа на две части, одна из которых сообщает вам порядок числа, а вторая — точное значение в пределах этого порядка. Такая запись числа называется экспоненциальной. Она позволяет избежать записи огромного количества нулей, когда необходимо выразить в привычных нам единицах такие значения, как, например, размер наблюдаемой части Вселенной, составляющий около 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 сантиметров.

Глядя на это число, любой скажет, что оно очень велико, но насколько велико?

В экспоненциальной нотации используются степени числа 10. Запись 10ⁿ означает число, начинающееся с единицы, за которой следуют n нулей. Например, число 100 в экспоненциальной нотации записывается как 10², а запись 10⁶ представляет число, начинающееся с единицы, за которой следуют шесть нулей, то есть один миллион. Оценивая величину таких чисел, достаточно помнить, что, скажем, число 10⁶ содержит в своей записи на один ноль больше, чем число 10⁵, и, следовательно, оно больше него в 10 раз. Для очень маленьких чисел, таких как размер атома, выраженный в сантиметрах — около 0,000000001 см, — учёные используют отрицательные показатели степени. Запись 10^—n означает единицу, делённую на 10ⁿ, то есть число типа 0,000… 0001, где единица стоит на n-й позиции после запятой. Таким образом, одна десятая будет записана как 10^-1, а одна миллиардная — как 10^-9.

Любое произвольное числовое значение может быть записано как число в диапазоне от 1 до 10, умноженное на десять в какой-то степени. Число 100 записывается как 10², в то время как число 135 можно представить в виде произведения 1,35∙100 и в экспоненциальной нотации записать как 1,35∙10². Второй сомножитель в этой записи называется порядком числа, он даёт нам представление о количестве цифр в обычной записи. Таким образом, числа 100 и 135 имеют один и тот же порядок. Первый сомножитель называется мантиссой — он говорит нам о том, где именно находится число в пределах указанного порядка, то есть является оно, например, числом 100 или числом 135.

Для физика порядок числа является наиболее важной характеристикой, поскольку он показывает масштаб явления, и экспоненциальная запись в этом отношении очень удобна, не говоря уже о том, что она просто короче. Гораздо легче воспринять число в форме 1,45962∙10¹³, чем 1 459 620 000 000 или «один триллион четыреста пятьдесят девять миллиардов шестьсот двадцать миллионов». Я рискну сделать ещё более сильное утверждение: числа, представляющие физический мир, имеют смысл только тогда, когда они записаны в экспоненциальной форме.

Есть и другие несомненные преимущества экспоненциальной записи. В частности, она сильно упрощает манипуляции с числами. Например, вы хотите перемножить два числа, скажем, 100 и 100. Традиционная запись выглядит так: 100×100 = 10 000. В экспоненциальной форме нахождение произведения 100×100 сведётся к следующей манипуляции: 10²х10² = 10⁽²⁺²⁾ = 10⁴ — фактически, мы заменяем умножение сложением. Аналогично и с операцией деления — вместо 1000:100 = 10 мы пишем: 10³:10² = 10^(3–2)= 10¹. Деление заменяется вычитанием. Эти простые правила оперирования со степенями десяти избавляют нас от необходимости постоянно считать количество знаков в перемножаемых числах, и единственное, для чего вам может понадобиться калькулятор, это для перемножения мантисс, то есть левых частей в экспоненциальной записи. Но поскольку мантиссы находятся в диапазоне от 1 до 10, то, помня таблицу умножения 10×10, вы всегда сможете сделать грубую прикидку результата в уме.

В мои задачи не входит научить вас искусству устного счёта, вместо этого я расскажу, как производить численные оценки. Если упрощение картины мира предполагает приближённое её описание, то экспоненциальная форма представления чисел лучше всего подходит для приблизительной оценки каких-то величин с точностью до порядка. Она позволяет быстро получить ответы на вопросы, которые при другом подходе были бы практически неразрешимыми. Грубые оценки помогают убедиться, что мы находимся на правильном пути. Они также позволяют сберечь время и силы, оберегая нас от выполнения ненужной работы. Одна известная байка рассказывает о некоем аспиранте, который потратил массу усилий, чтобы решить сложную систему уравнений, описывающую эволюцию Вселенной, чтобы получить в итоге один важный параметр. И на защите диссертации выяснилось, что этот же параметр получается за пару минут из общих соображений путём простой оценки.

Как сказал Энрико Ферми, «оценка по порядку величины позволяет вам ощутить почву под ногами». Ферми был последним из величайших физиков, который одинаково хорошо владел как теорией, так и техникой эксперимента. Он был одним из участников Манхэттенского проекта по созданию атомной бомбы и в числе прочего занимался проблемой получения управляемой цепной реакции деления атомных ядер. Он также был первым физиком, сумевшим построить теорию, описывающую цепную реакцию деления, за что удостоился Нобелевской премии. Его преждевременная смерть от рака, скорее всего, была вызвана воздействием радиации, изучением которой он занимался в те времена, когда её опасность для человеческого организма ещё не была установлена. Если когда-нибудь вы окажетесь в международном аэропорту имени Логана в Бостоне и по пути в город застрянете в пробке перед въездом в туннель, обратите внимание на мемориальную доску перед выездом на небольшой путепровод. Этот путепровод назван именем Энрико Ферми, и, на мой взгляд, очень показательно, что в то время как города называются именами президентов, а стадионы — именами спортсменов, именем Ферми названа дорога, поскольку в физике он был первопроходцем.

Я упомянул Ферми, потому что, будучи лидером группы физиков, работавших над Манхэттенским проектом в подвальной лаборатории, располагавшейся под футбольным полем Чикагского университета, он постоянно поднимал моральный дух руководимой им группы, разбавляя рутинную и тяжёлую работу интересными задачами, далеко не всегда имевшими отношение к физике. Энрико считал, что настоящий физик должен быть способен ответить на любой вопрос из любой области. Это не обязательно должен быть точный ответ — важно лишь разработать алгоритм, который позволил бы на основе имеющихся общих знаний оценить порядок величины. В качестве примера такой задачи можно привести вопрос, который часто задают на собеседовании в IT-компаниях: «Сколько настройщиков фортепиано проживают в настоящее время в Чикаго?»

Как бы подошёл к ответу на этот вопрос Энрико Ферми? Для начала он оценил бы численность населения Чикаго — допустим, пять миллионов человек. Из скольких человек состоит средняя чикагская семья? Предположим, что из четырёх. Тогда получается, что в Чикаго проживает (по порядку величины) около одного миллиона, или 10⁶ семей. У какой части семей дома есть фортепиано? Допустим, у каждой десятой. Значит, в Чикаго ориентировочно 100 000 фортепиано. Как часто необходимо их настраивать? Пускай раз в год. Сколько времени тратит настройщик на настройку одного инструмента? Явно не менее половины рабочего дня. Тогда, учитывая, что в выходные настройщик отдыхает, получится, что он способен настроить 500 фортепиано в год. Для того чтобы в течение года настроить 100 000 инструментов, понадобится:

100 000/500 = 1/5∙10⁵/10² = 1/5∙10³ = 0,2∙10³ = 2∙10² = 200 настройщиков.

Полученный результат не означает, что количество настройщиков в Чикаго в точности равно 200. Это оценка, полученная из общих соображений, но она даёт нам представление о порядке величины количества настройщиков. Если бы в реальности их оказалось менее 100 или более 1000, мы были бы сильно удивлены (на самом деле в Чикаго 600 настройщиков). Задумайтесь о том, что мы получили близкую к реальности оценку практически из ничего, из самых общих соображений, и снимите шляпу перед мощью этого метода.

Оценка по порядку величины может натолкнуть вас на новые идеи, которые в противном случае, возможно, никогда не пришли бы вам в голову. Чего больше: песчинок на пляже или звёзд на небе? Сколько людей на Земле чихают в течение одной секунды? За какое время вода и ветер смогут сточить до основания Эверест? Сколько человек в мире… (придумайте сами подходящий вопрос) за то время, пока вы читали эти строки?

Не менее важно и то, что оценка по порядку величины может принести вам озарение относительно тех вещей, суть которых вы пытаетесь понять. Человеческий мозг без специальной тренировки способен одновременно визуально зафиксировать в памяти не более двенадцати предметов, а чаще всего — не более шести. Когда вы видите шесть точек на грани игральной кости, вам нет необходимости их пересчитывать, вы и так понимаете, что их шесть. Но если бы у вас оказалась игральная кость с 20 гранями, то вы не сумели бы сразу определить, сколько точек находится на обращённой к вам грани: 17, 19 или 20, не пересчитывая их.

Даже если бы эти точки были нанесены в виде какого-нибудь регулярного узора, вы всё равно не смогли бы оценить их общее число, вместо этого вы оперировали бы, например, числом строк (4) и числом столбцов (5). Это происходит потому, что человек не способен легко и интуитивно представить себе число 20, несмотря на то что в повседневной жизни это число встречается достаточно часто: 20 пальцев на руках и ногах или 20 рабочих дней в месяце и т. д.

Оперируя очень большими или очень малыми числами, мы лишены способа наглядно представить, что они означают, не прибегая к оценке, которая позволила бы сопоставить исследуемое число с чем-то известным, что отличается от него не более чем в несколько раз, то есть с чем-то сравнимым по порядку величины. Один миллион может по порядку величины соответствовать числу людей, живущих в вашем городе, или количеству секунд, которые проходят за 10 дней. Миллиард по порядку величины соответствует населению Китая или количеству секунд, проходящих за 32 года. Сможете ли вы оценить, сколько раз вы слышите своё имя за время вашей жизни? Сколько килограммов пищи вы съедаете за десять лет? Удовольствие, получаемое от возможности шаг за шагом решать сложные, на первый взгляд, неразрешимые задачи, со временем вызывает сильное привыкание. Я думаю, что «кайф» подобного рода представляет собой большую часть удовольствия, которую получают физики от занятия физикой.

Экспоненциальная запись и оценка по порядку величины играют в физике неоценимую роль. Именно они в первую очередь и позволяют производить те самые упрощения, о которых я говорил в предыдущей главе. Если мы правильно представляем себе порядок величины, то мы уже понимаем большую часть из того, что нам необходимо понять. Я не хочу сказать, что вычисление всяких коэффициентов, входящих в уравнения типа 2π или 8/3, не важно, просто оценка порядка величины — это та самая лакмусовая бумажка, которая говорит, что мы на верном пути, а уже точно зная направление, можно начинать улучшать оценки, сравнивать предсказания с экспериментами и наблюдениями и совершенствовать теорию.

Теперь настало время пояснить, почему я сказал, что числа, отображающие реальные вещи в реальном мире, имеют смысл только будучи записанными в экспоненциальной форме. В первую очередь, потому что числа в физике, как правило, отражают то, что может быть измерено. Измеряя расстояние от Земли до Солнца, я могу выразить полученный результат двумя способами: 14 960 000 000 000 см или 1,4960∙10¹³ см. Для математика обе формы записи эквивалентны и представляют одно и то же число. Но для физика между числами 14 960 000 000 000 и 1,4960∙10¹³ существует принципиальная разница. Когда физик говорит, что расстояние от Земли до Солнца составляет 14 960 000 000 000 сантиметров, это означает, что оно в точности равно этому числу: не 14 959 790 562 739 и даже не 14 960 000 000 001 см, а ровно 14 960 000 000 000 см. Но это также означает, что мы знаем расстояние от Земли до Солнца с точностью до сантиметра!