Теорема века. Мир с точки зрения математики

Можно сначала подумать, что эта средняя величина будет зависеть от выбора функции φ, определяющей плотность воображаемой материи, и что так как эта функция φ произвольна, то в зависимости от произвольного выбора, который мы сделаем, мы можем получить какую угодно среднюю величину. Но это совсем не так.

Простое вычисление показывает, что наш двойной интеграл очень быстро убывает с возрастанием t.

Таким образом, я совершенно не знал, какую гипотезу мне допустить относительно вероятности того или иного начального распределения; но каково бы ни было сделанное допущение, результат будет тот же: это и выводит меня из затруднения.

Какова бы ни была функция φ, средняя величина стремится к нулю с возрастанием t, и так как малые планеты, конечно, совершили очень большое число обращений, то я могу утверждать, что эта средняя величина очень мала.

Я могу выбрать φ по своему желанию, однако с одним ограничением: эта функция должна быть непрерывной; и в самом деле, с точки зрения субъективной вероятности выбор прерывной функции был бы неразумным; какое основание имел бы я, например, предполагать, что начальная долгота может быть равна именно 0°, но что она не может быть заключена между 0° и 1°?

Но трудность возникает вновь, если стать на точку зрения объективной вероятности – если мы перейдем от нашего воображаемого распределения, где воображаемая материя предполагалась непрерывной, к действительному распределению, где наши изображающие точки образуют собой как бы дискретные атомы.

Среднее значение sin(at + b) представится просто через

1/n ∑ sin(at + b)

где n – число малых планет. Вместо двойного интеграла, относящегося к непрерывной функции, мы имеем сумму дискретных членов, и между тем никто серьезно не усомнится в том, что это среднее значение будет на самом деле очень мало.

Именно вследствие того, что наши изображающие точки крайне скучены, наша дискретная сумма вообще будет очень мало отличаться от интеграла.

Интеграл есть предел, к которому стремится сумма членов, когда число этих членов беспредельно возрастает. Если членов очень много, то сумма будет очень мало отличаться от своего предела, т. е. от интеграла, и то, что я сказал о последнем, будет справедливо и для суммы.

Тем не менее существуют исключительные случаи.

Если бы, например, для всех малых планет имело место равенство b = π/2 – at, то в момент t долгота всех планет равнялась бы π/2 и среднее значение было бы, очевидно, равно 1. Для этого было бы необходимо, чтобы в момент t = 0 все малые планеты были размещены на некоторой спирали особенной формы с крайне тесно сближенными витками. Всякий признает, что подобное начальное распределение крайне невероятно (и даже если допустить его в действительности, то распределение было бы неравномерным для некоторого момента, например, 1 января 1900 г., но оно перешло бы в равномерное через несколько лет).

Однако почему мы признаем такое начальное распределение невероятным? Необходимо это выяснить, так как если бы мы не имели основания отбросить эту нелепую гипотезу как не заслуживающую доверия, то все бы рушилось и мы уже ничего не могли бы утверждать относительно вероятности того или иного действительного распределения.

Мы опираемся здесь опять-таки на принцип достаточного основания, принцип, к которому постоянно приходится возвращаться. Мы могли бы допустить, что вначале планеты были распределены приблизительно на прямой линии или что они были расположены неравномерно; но, как нам кажется, нет достаточного основания предполагать, что неизвестная причина, породившая их, действовала, следуя столь правильной и в то же время столь сложной кривой, которая представлялась бы выбранной умышленно как раз для того, чтобы нынешнее распределение не было равномерным.

IV. Красное и черное. Вопросы теории азартных игр, например игры в рулетку, в сущности, вполне аналогичны тем, которые мы только что рассматривали.

Представим себе циферблат, разделенный на большое число равных делений, попеременно красных и черных; в центре его укреплена вращающаяся стрелка; после сильного разгона эта стрелка, сделав значительное число оборотов, остановится против одного из делений. Вероятность того, что это деление красное, очевидно, равна х/2.

Стрелка повернулась на угол θ, заключающий в себе несколько окружностей: я не знаю, какова вероятность того, что стрелка отброшена с такой силой, чтобы этот угол был заключен между θ и θ + dθ; но я могу ввести условное положение – могу допустить, что эта вероятность равна φ(θ)dθ; что касается функции φ(θ), то я могу выбрать ее вполне произвольно, нет ничего, что могло бы руководить мной в этом выборе; однако я, естественно, буду предполагать эту функцию непрерывной.

Пусть ε – длина (она считается по окружности радиуса, равного единице) каждого красного или черного деления. Надо вычислить интеграл от φ(θ)dθ, распространяя его, с одной стороны, на все красные деления, с другой – на все черные, и затем сравнить полученные результаты.

Рассмотрим промежуток 2ε, заключающий одно красное деление и следующее за ним черное. Пусть М и m – наибольшее и наименьшее значения функции φ(θ) в этом промежутке. Интеграл, распространенный на красные деления, будет меньше Σmε; интеграл, распространенный на черные деления, будет больше Σmε; следовательно, разность их будет меньше Σ(М − m)ε. Но если функция φ предположена непрерывной, если, с другой стороны, промежуток ε очень мал сравнительно с полным углом, описанным стрелкой, то разность М − m будет крайне мала. Поэтому и разность двух интегралов будет очень мала и вероятность будет очень близка к 1/2.