Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Крутизна кривой – это приращение функции (dy), деленное на приращение аргумента (dx)

Как мы видим, кривизна может быть разной в разных точках кривой. Из-за этого вычислять ее в некоторой точке x сложнее, чем работая с прямой, кривизна которой всегда одинакова. Поскольку вычислить кривизну значит определить приращение функции и приращение аргумента, нам нужны две разные точки: приращение аргумента оценивается от одного значения x до другого неподалеку, а приращение функции эквивалентно изменению значения y при движении от одного значения x к другому. Но кривизна кривой в двух разных точках будет немного отличаться. Какое же значение нам нужно?

Для решения этой проблемы применяется фокус, который позволяет свести разницу между двумя точками к минимуму, то есть сделать ее бесконечно малой. Способ не самый простой, но давайте разберемся, что здесь к чему, чтобы понять, откуда взялось общее правило, с которым вас познакомили в школе.

Продолжим работать с функцией y = x². Мы хотим найти ее производную – кривизну – в некоторой точке x. Чтобы получить горизонтальное “приращение аргумента” для вычисления кривизны, мы пройдем от точки x до соседней точки x + dx. Подчеркну: значение dx здесь крошечное. Подставив второе значение x в уравнение функции, мы получим y + dy, вторую точку приращения функции в промежутке между двумя точками приращения аргумента. Поскольку кривая задается уравнением y = x² (иными словами, x умножить на x), y + dy равняется (x + dx) умножить на (x + dx).

Далее нам нужно раскрыть скобки, перемножив каждое из слагаемых в первых скобках с каждым из слагаемых во вторых. Получим:

y + dy = x² + xdx + xdx + dx²

Как помните, dx – это крошечная доля x. Это значит, что dx² равняется квадрату этой крошечной доли, а следовательно, эта величина еще меньше. Она настолько мала, что мы даже можем ею пренебречь. Получим вторую точку:

y + dy = x² + 2xdx

Чтобы вычислить кривизну, нужно знать приращение функции от y до y + dy. Первая точка у нас задавалась уравнением y = x², вторая – уравнением y + dy = x² + 2xdx. Следовательно, приращение функции dy, то есть разница между двумя этими точками, равняется 2xdx.

Приращение аргумента – это разница между точкой x и точкой x + dx. Или dx. Следовательно, приращение функции, деленное на приращение аргумента, это:

Два множителя dx в правой части уравнения сокращаются (один делится на другой и получается 1, как при делении 3 на 3 получается 1), и остается:

Иными словами, производная от y = x² – это 2x.

Можно пользоваться тем же алгоритмом, чтобы находить производные других кривых, но в конце концов вы выведете общее правило: если

y = xⁿ,

то

Пусть кривая задается уравнением:

y = 3x² + 5

Чтобы найти производную, берем степень x (в нашем случае – 2) и умножаем ее на число, стоящее перед x. Если в уравнении есть параметр без x (здесь это +5), он просто исчезает. Следовательно, производная у нас будет 6x. Получается, что в точке, соответствующей, например, x = 5 по горизонтальной оси, крутизна кривой равна 30.

Есть и другие правила для поиска производных других кривых, и есть способы работать с комбинациями таких уравнений. По сути, однако, все сводится к тому, чтобы определять кривизну в конкретной точке кривой.

Именно так Перельсон поступил со своими дифференциальными уравнениями, которые помимо прочего позволяли по крутизне кривой определить, с какой скоростью меняется концентрация ВИЧ. В его статье содержатся дифференциальные уравнения для Т-лимфоцитов, макрофагов, вируса и антигенов, например: