Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Последующие модификации счетной линейки использовались вплоть до середины 1970-х годов. Даже если вам самим не случалось ее применять, вполне возможно, что у ваших родителей, бабушек и дедушек где-то дома еще хранится одна из старых линеек. Может, вы даже носите часы с круговой логарифмической линейкой на вращающемся ободке. Такие часто можно увидеть у пилотов: многие из них привыкли производить расчеты скорости, расстояния, высоты и расхода топлива по старинке. И все же логарифмическая линейка устарела почти сразу после изобретения электронного калькулятора, и мы быстро забыли о том, как логарифмы помогли нам построить наш нынешний мир.

Чудо e

Уильям Отред, конечно, и не догадывался, что изобретенная им логарифмическая линейка сыграет столь важную роль в истории человечества. Впрочем, он, похоже, был не из тех, кого волновало свое место в истории. Во втором издании первой книги Непера о логарифмах, вышедшем в 1618 году, содержится приложение, которое, как полагают ученые, написал Отред[148]. Очень жаль, что он решил его не подписывать, ведь его появление ознаменовало еще один исторический момент: из него мы впервые узнали об удивительном числе, которое сегодня называем e.

Как и Бригс, Отред заметил, что выбранный Непером метод вычисления логарифмов можно усовершенствовать. В его приложении (если его и правда написал Отред) приводится таблица логарифмов, не имеющих ничего общего с логарифмами Непера. Рядом с числом 8, например, находится число 2 079 441. Эти цифры (только с десятичной запятой после 2) составляют то, что мы сегодня называем “натуральным логарифмом” 8. Иными словами, 2,718281828 в степени 2,079441 равняется 8.

У вас может возникнуть закономерный вопрос: что “натурального” в любом из этих чисел? Если речь идет о 8 и 2,079441 – ничего. Но Отред выбрал “основание” 2,718281828 – и на этом число не заканчивается, а продолжается бесконечно, – которое, похоже, лежит в основе множества природных явлений.

Никто не знает, почему Отред поместил эту таблицу в книгу. Никакого объяснения этому нет, и подразумевается лишь, что читатели найдут ее полезной. Следующее появление натуральных логарифмов случилось лишь шестьдесят пять лет спустя, когда Якоб Бернулли произвел вычисления о природе начисляемых процентов.

В 1865 году Бернулли работал над задачей, связанной с тем, как часто вы бы хотели, чтобы банк начислял на ваш счет проценты. Представьте, что у вас есть 1000 долларов и банк (в этом крайне далеком от жизни мысленном эксперименте) дает вам 100 % годовых. Если их начислят в конце года, у вас будет 2000 долларов. Но что, если бы вам начисляли проценты за полгода уже по истечении 6 месяцев после открытия вклада? Тогда у вас было бы 1500 долларов, которые полгода лежали бы в банке, принося вам 100 % годовых. В таком случае в конце года у вас было бы 2250 долларов. Это прекрасно, поэтому давайте и дальше настаивать на ранней выплате процентов – и копить деньги. При ежеквартальной выплате процентов в конце года у вас будет 2414 долларов, а при ежемесячной – 2613 долларов. А если выплачивать проценты каждый день? Тогда у вас наберется 2715 долларов. Бернулли это показалось странным. При расчете процентов в 30 раз (примерно) чаще ваш капитал увеличивается всего на 102 доллара, и переход от ежемесячной выплаты к ежедневной вряд ли стоит того. Как открыл Бернулли, так происходит потому, что процентные выплаты стремятся к пределу, где разница практически стирается. Этот предел называется e. Его значение составляет 2,71828… Конца этим цифрам нет, но e можно определить с помощью различных математических выражений.

Большую часть черновой работы по вычислению значения e провел Леонард Эйлер. Эйлер был, пожалуй, лучшим математиком в истории. Он родился в 1707 году в швейцарском Базеле и практически все науки освоил сам, поскольку в школе его не обучили математике, а заносчивый Иоганн Бернулли отказался стать его наставником и велел ему убираться восвояси и читать книги. В конце концов Эйлер сам стал автором книг, которые читали другие математики. “Читайте Эйлера, читайте Эйлера, – твердил Лаплас своим юным последователям. – Он наш общий учитель”[149].

Судя по всему, Эйлер был изобретателем от бога. Его математические изобретения, охватывающие огромный диапазон тем, рождались так легко, что он сохранил плодовитость даже после того, как ослеп и обзавелся кучей детей, которые путались у него под ногами, пока он работал. При этом занимался Эйлер не только математикой. Он был старшим советником прусского короля Фридриха, которому помогал с инженерными проектами, вопросами артиллерии и даже с проведением национальной лотереи. Он также некоторое время работал военным врачом на Российском флоте и проводил исследования в Петербургской академии наук. Казалось, нет такого дела, с которым он бы не справился.

Именно Эйлер обозначил основание натурального логарифма символом e. Иногда высказывается мнение, что он выбрал первую букву своей фамилии, но мало кто готов поверить, что он был настолько самовлюблен. Скорее всего, он выбрал e просто потому, что эту букву ранее не использовали в математической записи. Теперь, однако, число e порой называют числом Эйлера, и мы вычислили уже несколько триллионов его десятичных знаков. Однако мы никак не можем постичь всю глубину его мощи. Откровенно говоря, на первый взгляд число e кажется нелепым. Так, в 1898 году российский экономист Владислав Борткевич опубликовал собранные за двадцать лет данные о травмах от ударов копытами в прусской кавалерии[150]. В 109 из 200 случаев обошлось без жертв, но в среднем раз в 1,64 года от удара копытом погибал один человек. Подставив эти числа в уравнение, получим e:

Если это вас не удивляет, как насчет такого: e можно вывести, если нанести на карту Лондона места падения немецких бомб “Фау-1” во время Второй мировой войны. Его же мы увидим и если изучим темпы появления мутаций в вашей ДНК. Но это не случайность и не мистика. Это следствие того, что e фигурирует в числах, описывающих определенные типы событий. Если событие повторяется, но редко, и каждое новое событие происходит независимо от других, закономерность, которая наблюдается в связи с этим (хоть во времени, хоть в пространстве), можно описать с помощью так называемого распределения Пуассона. Мы снова встретимся с ним в седьмой главе, в которой предметом нашего рассмотрения станет статистика, но числа в распределении Пуассона показывают, что в нем всегда участвует и число e Эйлера. Но пока самая важная особенность e проявляется в математическом анализе, поскольку число e является собственной производной. Попробуем понять, почему это важно.

В главе о математическом анализе я упоминал, что существуют различные правила вычисления производной – или тангенса угла наклона – кривой. Когда кривая задается уравнением y = b^x, по правилам ее производная – просто kb^x, где k – неизвестная, численно связанная (довольно сложным образом) с b. Иными словами, производная любой экспоненциальной функции – это k, умноженная на исходную функцию. И здесь возникает логичный вопрос: существует ли условие, при котором число k равно 1? Это было бы неплохо: в таком случае функция становится собственной производной, что невероятно упрощает математический анализ.

Ответ на этот вопрос – да. И условие таково: b, основание нашего исходного равенства y = b^x, должно равняться 2,71828… Иными словами, если вычислять производную y = e^x, dy/dx = e^x.

С учетом этого важность e невозможно переоценить. Если вы способны перестраивать свои экспоненциальные функции, каким бы ни было их основание, и приводить их к основанию e, у вас появляется возможность осуществлять их математический анализ с непревзойденной легкостью и благодаря этому решать множество интересных задач. Так, если вам хочется выяснить, сколько новых случаев заражения вирусом будет выявлено завтра, вы понимаете, что ожидаемое число будет некоторым образом связано с числом случаев, выявленных сегодня. Это экспоненциальная функция, которую можно записать с помощью произвольных чисел. Но если вы хотите поиграть с математикой и вычислить такие вещи, как скорость изменений, часто вам проще использовать в записи число Эйлера e, возведенное в степень, кратную проходящему времени. Это объясняется тем, что такая степень является коэффициентом пропорциональности общего числа случаев к скорости роста. По тем же причинам мы применяем e при исследовании целого ряда иных феноменов. Число e играет важнейшую роль в финансовых вопросах, например при расчете сложных процентов, в конфигурации разветвляющихся кровеносных сосудов в организме человека, в динамике роста бактериальных колоний, в скорости распространения теплоты от горячего тела к холодному (именно оно помогло составить уравнения, которые стали двигателями промышленной революции), а также в естественной убыли количества радиоактивного вещества в изучаемом образце. Разберем последний пример: если исходная масса m₀ испускает излучение со скоростью r, по прошествии времени t останется радиоактивная масса m₀e ^—rt. Атомная эпоха наступила во многом благодаря тому, что ученые научились использовать e таким образом (а необходимые расчеты, конечно, производились с помощью логарифмической линейки).

Важнее всего, пожалуй, то, что, отталкиваясь от любой логарифмической таблицы, можно составить другую логарифмическую таблицу с новым основанием, но нет основания ценнее, чем e. Судя по всему, именно об этом Отред и написал в приложении к книге Непера. Мы никогда не узнаем, каким образом он проник так глубоко в суть вещей, но главное, что он оказался прав: как мы увидим в следующей главе, число e открыло нам весь диапазон технологий XX века – оно не только дало толчок к развитию банковского дела и созданию атомных бомб, но и подарило нам такие электрические новшества, как радио, электрическая сеть и, наконец, компьютер.

Впрочем, прежде чем двигаться дальше, нам стоит отметить и другие достижения Непера. Как ни посмотри, хватило бы и одних логарифмов. Мы увидели, что их появление привело к целым столетиям новаторства: составлению карт звездного неба, созданию парового двигателя, наступлению атомного века и использованию счетных линеек, с помощью которых астронавты “Аполлона” осуществляли особенно важные расчеты. Но Непер также подарил нам десятичные дроби.

Десятичные дроби

Об успехе десятичных дробей говорит то, что мы уже встречали их в этой книге, но нам даже не пришлось останавливаться и обсуждать, что именно они собой представляют. Давайте все же уделим им немного времени.

По сути, десятичные дроби – это просто другой способ записи дробей. Первая цифра после запятой обозначает количество десятых долей, вторая – сотых, третья – тысячных и так далее. Насколько нам известно, впервые эта идея нашла применение в книге арабского математика Абу-л-Хасана Ахмада ибн Ибрахима аль-Уклидиси, написанной в X веке. Он даже предложил особую форму записи – использовав знак, похожий на апостроф, – чтобы отделять целую часть числа от дробной.

Западные математики обратили внимание на десятичные дроби лишь в 1585 году, когда выходец из Брюгге Симон Стевин опубликовал книгу “Десятая”, в которой объяснил азы работы с ними. Твердо уверенный в практической пользе десятичных дробей, Стевин заявил, что рано или поздно страны перейдут к чеканке денег по десятичной системе.

Правда, в его собственной записи дроби выглядели иначе. Стевин обозначал начало дробной части нулем, заключенным в круг. За десятыми долями следовала заключенная в круг единица, за сотыми – заключенная в круг двойка и так далее. В 1612 году немецкий математик Бартоломеус Питискус избавился от этого мусора и предложил использовать в качестве разделителя знакомую нам точку. Популяризатором этой записи стал не кто иной, как Джон Непер, который применил ее в своих чудесных логарифмических таблицах.

Теперь мы узнали все необходимое, чтобы сделать следующий шаг – совершить поразительный скачок, который позволит нам вырваться из собственного мира и исследовать другие миры. Помните, как Непер изначально разработал логарифмы, чтобы помочь с расчетами астрономам и морякам? Поскольку в их основе лежит тригонометрия (а это слово, кстати, изобрел как раз Бартоломеус Питискус, отец десятичной точки), существуют любопытные взаимосвязи между логарифмами, экспонентами и вычисляемыми на основе треугольников отношениями, которые мы называем синусами, косинусами и тангенсами. Но в них участвует и еще кое-что, с чем мы еще не знакомы: комплексное, или мнимое, число. Как мы скоро увидим, “мнимое” – эпитет неудачный: это странное математическое творение достаточно реально, чтобы питать почти весь современный мир.