Непер дал толчок к логарифмической революции, представив две бусины, движущиеся по параллельным спицам, одна из которых конечна, а другая – бесконечна. Верхняя спица бесконечна, и бусина A движется по ней с постоянной скоростью. Числа, определяющие ее положение, растут в арифметической прогрессии, то есть увеличиваются равномерно – на одинаковую величину при каждом шаге. Скажем, спустя 1 секунду бусина находится в положении 100, спустя 2 секунды – в положении 200, спустя 3 секунды – в положении 300. Нижняя спица конечна. Бусина B начинает движение на одном уровне с бусиной A и сначала движется с такой же скоростью, но постепенно ее скорость снижается. Точнее, ее скорость пропорциональна расстоянию до конца спицы. Скажем, она начинает движение со скоростью 100, через 1 секунду ее скорость снижается до 50, через 2 секунды – до 25 и так далее. Это имеет два следствия. Во-первых, это значит, что числа, определяющие положение нижней бусины, уменьшаются в “геометрической” прогрессии, то есть на каждом шаге происходит умножение, а не сложение. Во-вторых, это значит, что в любой момент после начала движения верхняя бусина всегда будет дальше нижней. Если соединить их прямой, угол между ней и нижней спицей будет постепенно становиться все меньше.
Таким образом, пожалуй, можно построить бесконечное число треугольников. Как видите, соединительная прямая – это гипотенуза прямоугольного треугольника. Косинус уменьшающегося угла зависит от расстояния, на которое верхняя бусина опережает нижнюю. Первым делом Непер определил синус угла как расстояние, еще не пройденное по нижней спице. После этого он определил число, которое интересовало его на самом деле: логарифм этого синуса. Он сказал, что он равняется расстоянию, которое верхняя бусина преодолела по верхней спице к настоящему моменту. Для всех возможных углов при шаге в 1 минуту (минута равна одной шестидесятой градуса, как завещали нам вавилоняне) он нашел синусы, то есть расстояния до конца нижней спицы, и логарифмы, то есть расстояния, пройденные по верхней спице. Чтобы добиться точности, необходимой астрономам и мореходам, Непер приложил огромные усилия. Он разбил длину нижней спицы на 10 миллионов единиц, что дало ему семь знаков после запятой. Он хотел, чтобы на каждом шаге логарифм увеличивался от нуля на единицу. В результате в его логарифмические таблицы вошли сумасшедшие 10 миллионов значений, каждое из которых он высчитывал с помощью трудоемкой и изнурительной математической процедуры. Теперь астрономы могли превращать неуклюжие операции умножения и деления в удобные операции сложения и вычитания соответствующих чисел из таблиц Непера. Один человек трудился двадцать лет, чтобы только облегчить работу другим. Это ли не истинное самопожертвование?
Должно быть, Непер вздохнул с облегчением, когда наконец подготовил таблицы к публикации. Однако, как выяснилось, работа была далека от завершения. Лондонский профессор математики Генри Бригс прочитал книгу Непера, и она произвела на него огромное впечатление. “Я никогда не видел книги, которая понравилась бы мне больше или заставила бы меня задуматься глубже”, – отметил Бригс в письме своему другу Джеймсу Ашшеру[140]. Однако, добавил он, кое-что нужно доработать.
Сложно найти двух столь непохожих друг на друга людей, как Непер и Бригс. Выросший в Йоркшире Бригс преподавал геометрию в Грешем-колледже, отличался прагматизмом и почти не проявлял интереса к религии, духовности и мистицизму. Непер же был непоколебим в своей протестантской вере, а еще считал себя едва ли не колдуном. Он занимался астрологией, и есть основания полагать, что он практиковал и более темные искусства. В 1594 году он заключил договор с бароном Робертом Логаном, который поручил Неперу любым способом найти сокровища, спрятанные где-то в его замке Фаст. Поскольку Непер двадцать лет провел в уединении, его (через много лет после его смерти) заподозрили в сатанизме, о чем сообщалось в вышедшем в 1795 году “Статистическом отчете”, сборнике приходских отчетов, составленных шотландскими священниками. “Ранее возникали подозрения, а теперь есть сведения, что он вступил в сделку с дьяволом, и время, которое он проводил в своем кабинете, он тратил на изучение темного искусства и беседы со стариной Ником”, – отмечается в “Отчете”[141].
Неважно: Бригс все же восхищался им. Они переписывались, и Бригс планировал поездку в Эдинбург. “Надеюсь, я встречусь с ним этим летом, если будет угодно Господу”, – писал он Ашшеру в 1615 году. И встретиться у них получилось. В одном из источников того времени сообщается, что ученые четверть часа смотрели друг на друга в полном восхищении, прежде чем хоть кто-то решился нарушить молчание.
Впрочем, в конце концов они перешли к делу. Бригс полагал, что логарифмы Непера прекрасно подходят для тригонометрических вычислений, но для использования с обычными числами их следует доработать. Непер выбрал 10 миллионов как число, которое даст ему достаточное количество знаков после запятой. Бригс, однако, отметил, что в результате это вызывало излишние сложности.
Бригс сразу заметил, что в модели Непера неизбежно возникала ситуация, где
log (
Логарифмы Непера были созданы таким образом, что log 1 не равнялся нулю. Бригс предложил изменить принцип вычисления логарифмов, чтобы приравнять log 1 к нулю. В таком случае вырисовывалась благоприятная картина:
log (
И это давало невероятно изящный способ связать сложение с умножением.
По сути, логарифмы – это способ выразить отношение между числами. Как мы видели, выражение 23 = 8 сообщает нам такую же информацию, как и выражение “логарифм по основанию 2 от числа 8 равен 3”. Но при использовании логарифмов мы можем менять “основание”, чтобы упрощать расчеты. Бригс понял, что полезнее других основание 10, поскольку со степенями числа 10 логарифмы справляются легко. Раз log 1 приравнен к 0, то log 10 равняется 1, log 100 – 2, log 1000 – 3 и так далее. Как видите, логарифм описывает, сколько нулей идет после единицы при использовании арабских цифр. Поскольку 100 = 10 × 10 (десять в квадрате, или 102), 1000 = 10 × 10 × 10 (десять в кубе, или 103) и так далее, становится ясно, что усовершенствованный логарифм тесно и очень просто связан с процессами умножения.
Бригсу – а затем и Неперу – стало очевидно, что астрономам и другим пользователям системы Непера теперь будет гораздо проще производить сложные расчеты. Ученым оставалось лишь пересчитать 10 миллионов значений из книги логарифмов Непера. Именно этому они и посвятили следующие два года.
Их совместная работа завершилась, когда весной 1617 года Непер умер от подагры. Но Бригс не отступился от задачи. Таблицы были закончены (с помощью голландского математика Адриана Влакка) и опубликованы в голландском городе Гауде летом 1628 года. Это были знакомые нам “логарифмы по основанию 10” всех натуральных чисел от 1 до 100 000, вычисленные с точностью до 14 знаков после запятой. В публикации также содержались таблицы натуральных синусов с точностью до 15 знаков после запятой и другие тригонометрические данные. Через два года после выхода сборника Бригс тоже скончался, но к тому моменту их с Непером труд оказался доведен до конца.
Позже Пьер-Симон Лаплас отметил, что сэкономленное логарифмами время, пожалуй, “удвоило продолжительность жизни астронома”[142]. В случае с Кеплером, однако, этим дело не ограничилось: складывается впечатление, что логарифмы подтолкнули его мыслить иначе. Есть основания полагать, что он вывел третий закон планетарного движения – совершив один из величайших прорывов в истории науки – во многом благодаря открытию этих численных отношений.
Кеплер опубликовал два первых закона в 1609 году, но третий сформулировал лишь в 1618-м – через два года после знакомства с работой Непера. Третий закон математически связывает время, за которое планета делает оборот вокруг Солнца, с пространственной протяженностью более длинной, “большой” оси ее орбиты. Говоря на языке математики, квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу “большой полуоси” (большая полуось – это половина большой оси). Кеплер пришел к этому выводу не через квадраты и кубы, а через отношения. 8 марта 1618 года он сказал, что “ему в голову пришло”, что “отношение периодов обращения двух любых планет ровно в полтора раза больше отношения средних расстояний”[143]. Мы можем перевести это на язык логарифмов отношений периодов и расстояний. Если планета A совершает оборот вокруг Солнца за время
Если мы построим график с логарифмическим масштабом на обеих осях, связь станет очевидной. Судя по всему, в какой-то момент в промежутке с 1609 по 1618 год мозг Кеплера совершил логарифмический скачок. Логично предположить, что Непер (и Бригс), возможно, сделали непредвиденный и почти не оцененный вклад в астрономию.
Иоганн Кеплер увидел логарифмическую связь между диаметром орбиты планеты и временем обращения этой планеты вокруг Солнца
Еще больше времени и сил сэкономила автоматизация этих расчетов. Первый шаг к ней сделал Непер, который предложил использовать для вычислений деревянные палочки, названные палочками Непера (или костями Непера, когда впоследствии их начали изготавливать из слоновой кости). Как и в случае с логарифмами, Непер разработал палочки, чтобы упростить сложные вычисления. Палочки были поделены на квадраты, каждый из которых был по диагонали поделен на два треугольника. В каждом треугольнике стояла цифра, и расположение цифр превращало эти палочки в счетный инструмент, который требовал от пользователя умения не умножать, но складывать.
Набор палочек Непера
ebooksa