Помните Фалеса Милетского и его эксплуатацию производителей оливок? Возможно, именно в тот момент мы должны были понять, что в математике сила. По мнению Аристотеля, Фалес просто хотел доказать, что философы вполне могли бы разбогатеть, но посвящали себя более важным вещам. Впрочем, он, вероятно, сам того не желая, продемонстрировал, что если разбогатеть вам все же хочется, то знание математики придется очень кстати. Неудивительно, что Уолл-стрит, лондонский Сити и все остальные финансовые центры, раскиданные по миру, расхватывают молодых математиков и физиков, которые сильны в математическом анализе, как горячие пирожки.
То, что началось с прозорливости Фалеса, ожидавшего, что прессы для оливок возрастут в цене, вылилось в попытку прогнозирования будущей стоимости любого товара, который можно использовать для заработка денег. Всякий, кому хоть раз приходилось принимать решение о поведении на фондовом рынке, скажет вам, что торговля финансами – это, по сути, азартная игра. Именно поэтому математика финансов уходит корнями в теорию вероятностей.
Теория вероятностей началась с Джероламо Кардано, который хотел выиграть в карты и кости достаточно денег, чтобы оплатить свое обучение в медицинском университете. Но вплотную предметом занялся пионер математического анализа Пьер Ферма, работавший вместе с Блезом Паскалем[119]. Они проанализировали вероятность различных исходов в разных играх и вывели формулу, более или менее эквивалентную той, что используется для определения ценности финансовых пакетов, называемых деривативами.
Дериватив, или производный финансовый инструмент, – это контракт между покупателем и продавцом. В нем оговаривается цена, по которой актив будет продаваться в некоторый момент будущего. Допустим, вы торгуете нефтяными фьючерсами. Вы заключаете контракт на покупку определенного количества баррелей нефти по указанной цене в указанный день или позже. Вы надеетесь, что к этому дню цена на нефть станет больше той, о которой вы договорились, и тогда вы либо выиграете деньги с этой сделки, либо сможете продать контракт заинтересованному покупателю до наступления указанного дня. Проблема в том, что вы точно не знаете, как будет меняться цена на нефть в промежуточное время. В связи с этим вам приходится моделировать вероятные изменения с помощью математики.
После того, как Даниил Бернулли сделал в этом направлении первый шаг, область применения математического анализа в финансах стала неуклонно расширяться. В 1781 году французский математик Гаспар Монж с помощью математического анализа нашел способ свести к минимуму транспортные расходы при перемещении породы в ходе строительства дорог и фортификационных сооружений[120]. Метод Монжа, по сути, не отличается от метода, используемого в финансовом хеджировании, когда люди делают вложения для минимизации общих потерь при возникновении непредвиденных проблем в других областях их финансовой деятельности. Сегодня математический анализ применяется на всех финансовых рынках, но выделяется при этом одно ключевое уравнение: модель Блэка – Шоулза – Мертона.
Все началось в 1973 году, когда ученые-экономисты Фишер Блэк и Майрон Шоулз опубликовали статью “Ценообразование опционов и корпоративные обязательства”[121]. Вскоре после этого экономист Роберт Мертон развил их идею в статье “О ценообразовании корпоративного долга: структура риска процентных ставок”[122]. Вам может показаться, что ничего скучнее не придумаешь (мне именно так и кажется), но эти статьи оказались такими обстоятельными, новаторскими и весомыми, что Мертон и Шоулз в 1995 году получили Нобелевскую премию по экономике (Блэк умер от рака горла в 1995 году и потому не мог стать лауреатом).
Блэк, Шоулз и Мертон пробудили интерес к так называемым опционам. Они напоминают нефтяные фьючерсы, о которых уже говорилось раньше: это заключенный между двумя сторонами контракт на куплю-продажу некоторого товара или акций по заранее оговоренной цене в указанную дату при условии, что к этому времени обе стороны по-прежнему готовы провести сделку. Продавец, однако, может продать опцион третьей стороне. Это еще один способ сделать ставку на повышение или понижение рыночной стоимости акции или товара.
Интерес к этому возник, поскольку Блэк, Шоулз и Мертон продемонстрировали, что с помощью математического анализа можно определять взаимовыгодную цену опциона[123]. В том числе они использовали “уравнение в частных производных”. Если в “обыкновенном” дифференциальном уравнении всего одна переменная (и решить его, как правило, довольно просто), то в уравнениях в частных производных уже две и более переменных. Примером может служить стоимость актива, которая меняется со временем, а также при изменении стоимости другого актива, – скажем, цены на нефть, колеблющиеся в зависимости от того, какой объем нефти поступает на рынок, но также порой зависящие от цены на газ. Нередко уравнения в частных производных вообще не решаются должным образом – их решают “численно”, то есть с помощью компьютера, который перебирает разные комбинации чисел и ищет подходящие.
Открыв возможности для применения математического анализа с целью оценки таких вещей, как опционы, Мертон, Шоулз и Блэк изменили принципы денежного обращения во всех рыночных экономиках мира. Чтобы понять, какое влияние они оказали, посмотрим на цифры. В 1973 году, когда вышли их статьи, на рынке было всего 16 опционов. Сегодня рынок опционов оценивается в триллионы долларов. На протяжении десятилетий ученые развивали их идеи, создавая на базе математического анализа новые методы определения ценности (и заработка денег) на финансовых рынках. В большинстве своем их инновации предполагают решение уравнений в частных производных в разных формах. И здесь модель Блэка – Шоулза – Мертона нас подвела (как и другие подобные).
Из-за своей сложности эти модели были скомпилированы в готовые компьютерные программы, позволяющие трейдерам вводить небольшое число переменных, связанных с текущим состоянием рынка, и получать, по сути, рекомендацию к действию. К несчастью, лишь малая часть этих программ содержала четкие предупреждения об их ограничениях и несовершенствах. Блэк, Шоулз и Мертон прямо говорили, где и когда обоснованны и применимы решения их уравнений в частных производных, но оговорки об особенностях новых программ часто не принимались в расчет – если делались вообще. Никто из тех, кто пользовался программами, находясь на передовой финансовых транзакций, ничего не знал об уравнениях, лежащих в их основе, и потому рекомендации систем не подвергались сомнению. В результате все больше и больше организаций накапливало скрытые, токсичные задолженности.
Причины глобального финансового кризиса чрезвычайно сложны, но, по сути, они сводятся к недостатку информации о риске. Трейдеры, работавшие на большинство крупных банковских и финансовых организаций, сами того не понимая, покупали огромные объемы финансовых пакетов, в которых скрывались токсичные задолженности. К тому времени, как стало выясняться, что такие компании, как
Впрочем, не все так плохо. Даниил Бернулли сделал и третий вклад в развитие и применение математического анализа. После здравоохранения и финансов он стал применять уравнения Лейбница и Ньютона, чтобы описывать и прогнозировать течение жидкостей. И здесь к нам возвращается радость математического анализа. Математика течения жидкостей лежит в основе конструирования самолетов. Если правильно все рассчитать, она приведет вас к победам, меняющим ход истории, – таким, например, как битва за Британию. Труды Даниила Бернулли дают нам возможность вернуться к “Супермарин Спитфайру”. Настало время подняться в небо и воспарить на крыльях дифференциальных уравнений.
Бернулли начал с изучения открытий Архимеда, сделанных 2 тысячи лет назад. Это были довольно скучные законы, которым подчинялись жидкости, неподвижно находящиеся в емкостях, например в ваннах. С помощью математического анализа Бернулли вдохнул в них новую жизнь, совместив с законами движения Ньютона. Он опубликовал результаты своих исследований в книге “Гидродинамика”, которую впоследствии скопировал его отец.
Одним из наиболее значимых открытий Бернулли стало то, что увеличение скорости потока жидкости приводит к снижению давления этой жидкости на окружающую среду. В применении к крыльям самолета этот закон объясняет феномен подъемной силы. Рассчитав колебания давления на поверхность крыла с помощью математического анализа, можно увидеть направленную вверх силу.
Правда в том, что мы точно не знаем, за счет чего летают самолеты. Как ни странно, эксперты по сей день не могут сойтись во мнении, применять ли к ним закон Бернулли, третий закон Ньютона – любому действию всегда есть равное и противоположное противодействие – или какой-нибудь другой принцип. Впрочем, вас, возможно, удивит тот факт, что величайший физик XX века выступал именно на стороне Бернулли.
В 1916 году, только что опубликовав общую теорию относительности, Альберт Эйнштейн обратился к вопросу полета[124]. Применив математический анализ на основе закона Бернулли, он предложил новую форму крыла, верхняя поверхность которого была заметно выгнута, чтобы увеличить скорость движения воздуха, обтекающего крыло, благодаря этому снизить давление в нужной области и обеспечить действие на крыло чистой подъемной силы, возникающей из-за давления воздуха под крылом.
Крыло Эйнштейна плохо показало себя на испытаниях в аэродинамической трубе, но в силу репутации ученого ему все же дали шанс. Немецкий авиаконцерн
А вот менее известные ученые и математики справились с задачей гораздо лучше. На поверку оказалось, что Эйнштейн – что было вполне в его духе – проигнорировал поразительные достижения других специалистов. Как отмечалось в начале этой главы, к тому моменту, когда Эйнштейн решил поиграть с темой, другие математики уже внедряли выведенные изначально по наитию параметры Фредерика Ланчестера для конструирования крыла в математические уравнения, также основанные на трудах Бернулли. В 1920-х годах появилось огромное количество научных сочинений о полете, и многие наиболее значимые открытия были сделаны в Германии. Именно там Беверли Шенстоун два года проработал на заводе “Юнкерс” в Дессау. Он вернулся в Англию в 1931 году, и год спустя Реджинальд Митчелл нанял его в
Тогда Шенстоун еще не изучил математический анализ в достаточной степени, чтобы спроектировать “Спитфайр”. Но кое-какие знания у него уже были. Писатель Лэнс Коул изучил бумаги, книги и дневники Шенстоуна, собирая материал для своей книги “Тайны «Спитфайра»”. На заднем форзаце учебника дифференциального математического анализа, которым Шенстоун пользовался почти двадцать лет, Коул обнаружил “написанные карандашом эллиптические расчеты… подкрепленные математическим анализом”. И все же Шенстоун понимал, что знаний ему недостает. Такой вывод можно сделать, познакомившись с его опубликованной в 1934 году статьей по математическому анализу конструирования крыльев, где он поблагодарил человека, вклад которого оказался практически забыт: “В заключение автор желает выразить благодарность профессору Р. К. Дж. Хауленду за помощь и ценные советы при работе над этой статьей”[126].
Математик Реймонд Хауленд работал в Саутгемптонском университетском колледже (ныне – Саутгемптонский университет) на южном побережье Англии. Хауленд был специалистом по математическому анализу. Когда они – случайно – познакомились с Шенстоуном, они разговорились о работе и Хауленд заинтересовался попытками Шенстоуна найти математическому анализу практическое применение. В результате их сотрудничество оказалось взаимовыгодным: Хауленд обучил Шенстоуна продвинутым техникам математического анализа, а Шенстоун познакомил Хауленда с аэродинамикой.
ebooksa