Шенстоун публично поблагодарил Хауленда в тот же год, когда компания
В конце концов совершенную в теории форму все же пришлось доработать. В декабре 1934 года мастера
Чтобы выполнить техническое задание, план крыла пришлось составить из нескольких кривых. Их совместили друг с другом так, чтобы показатели их крутизны в каждой точке пересечения были идентичны, что позволило сделать крылья гладкими и аэродинамическими. Неясно, в какой степени итоговая конструкция была основана на расчетах Шенстоуна, а скольким мы обязаны мастерству чертежников
К несчастью, эта статья стала последней совместной работой Шенстоуна и Хауленда. В тот же год Хауленд умер, так и не узнав, какой важный вклад в историю он внес, обучив Шенстоуна математическому анализу. “Спитфайр” оказался настоящим триумфом, и его хвалили абсолютно все. Летавшие на нем летчики называли его “идеальной летающей машиной” и “чем-то из другого мира”. Впрочем, не стоит, пожалуй, удивляться, что британцам нравилось летать на “Спитфайре”. Удивительнее то, что и немецкие летчики восхищались его маневренностью. Когда битва за Британию подошла к кульминации, фельдмаршал Герман Геринг спросил, чем он может обеспечить немецкие истребительные эскадрильи, базировавшиеся во Франции, чтобы сломить сопротивление британцев. “Я бы не отказался от звена «Спитфайров»”, – заявил группенкоммандер Адольф Галланд[129]. Хайнц Кноке, еще один летчик, сражавшийся со “Спитфайрами” в битве за Британию, примерно так же оценивал преимущество противника. “Эти поганцы чертовски резко разворачиваются, их как будто бы и вовсе не подбить”, – писал он в мемуарах[130].
Эллиптическая в плане форма крыла “Спитфайра”.
Битва за Британию – первое значительное военное поражение Гитлера – изменила исход Второй мировой войны. Ральф Ингерсолл сообщил, что “с тех пор поведение люфтваффе над Англией изменилось. Его боевой дух, несомненно, сломлен, а Королевские ВВС с каждой новой неделей становятся все сильнее”. Впервые появилась надежда на то, что Гитлера можно одолеть, и это подтолкнуло американцев вступить в конфликт. Такова – наряду с чудесами в городском планировании, финансовой сфере и здравоохранении – сила математического анализа.
Студентам математический анализ всегда казался переходным этапом от базовой математики к продвинутой. Почему-то все, что мы изучаем до него, усвоить относительно несложно, но если математический анализ окажется вам не по зубам, велика вероятность, что дальше вы уже не продвинетесь. Но даже если вас сломил математический анализ, не печальтесь. Как мы увидели, положить математику перемен на обе лопатки удалось лишь величайшим ученым. Впрочем, достигнув этого, мы уже не оглядывались назад. Математический анализ стал универсальным инструментом математики и среди прочего помогает решать задачи в сферах медицины, военного дела, финансов и архитектуры. Рынок деривативов, “Спитфайр”, тройная терапия ВИЧ и Бруклинский мост – вот впечатляющее наследие дисциплины, которая поначалу была не более чем несерьезной игрой с математикой бесконечного.
В следующей главе речь пойдет об инструменте совершенно иного происхождения. Джон Непер специально изобрел логарифм, чтобы помочь астрономам вычислять суммы. Вышло так, что диапазон применения этого инструмента, как и математического анализа бесконечного, оказался безграничным.
Глава 5. Логарифмы. История науки
В 1601 году Иоганн Кеплер, человек, который изобрел интегрирование, чтобы сэкономить деньги на своей свадьбе, опубликовал расчеты, позволившие ему построить орбиту Марса. На них он потратил четыре года. Пятнадцать лет спустя он узнал о математической инновации, которая существенно сэкономила бы ему время.
“Один шотландский барон, имя которого вылетело у меня из головы, – писал он другу, – предложил чудесный способ приводить все необходимые [операции] умножения и деления к простым [операциям] сложения и вычитания”. Похоже, Кеплер пришел в восторг от возможности упростить работу в будущем, и его наставнику Михаэлю Мёстлину даже пришлось его осадить. Кеплер жаловался, что коллеги сказали ему, что “негоже профессору математики по-детски радоваться сокращению расчетов”[131].
Попробуйте сказать такое несметному множеству людей, которые в последующие триста пятьдесят лет не могли бы работать без этого шотландского изобретения. Оно называлось логарифмом и, как верно отметил Кеплер, позволяло манипулировать числами, упрощая сложные расчеты. Когда логарифмы перенесли на деревянные планки – логарифмические линейки, – они на века стали движущей силой науки и инженерии. Счетная линейка способствовала наступлению эпохи Просвещения, промышленной революции, атомного века и космической гонки. Если хотите составить представление о том, насколько важную роль играет эта линейка и как давно используется, знайте: логарифмической линейкой пользовался Исаак Ньютон, с ее помощью был сконструирован первый паровой двигатель, ученые применяли ее при испытаниях первой атомной бомбы, а астронавты захватили логарифмические линейки с собой на Луну, когда отправились туда на “Аполлоне”. Транспортная, промышленная и жилая инфраструктура XX века проектировалась с помощью счетных линеек: инженеры даже носили их в специальных чехлах у себя на ремне, потому что такие линейки были незаменимым инструментом. Можно, пожалуй, сказать, что логарифмы оказали на нашу жизнь самое большое влияние из всех изобретений, сделанных в современной истории. И своим существованием они обязаны исключительной целеустремленности одного человека.
Из головы у Кеплера в свое время вылетело имя Джона Непера. Он родился в 1550 году в Эдинбурге и был убежденным протестантом в период ожесточенной межконфессиональной борьбы, которая явно не обошла его стороной. Аристократ по рождению, Непер носил титул восьмого лэрда Мерчистона и был преисполнен ненависти к католикам. Его истовая вера угадывалась даже в математике. Первостепенным для Непера был поиск тайных знаний путем трактовки библейских чисел. Сначала он решил предсказать дату конца света. Он попробовал определить ее, анализируя Откровение Иоанна Богослова, однако не сумел прийти к однозначному выводу и назвал лишь верхний предел – 1786 год. Он также отметил, что если человечество станет больше грешить, то конец света, вероятнее всего, наступит раньше. После этого он решил математически доказать, что на папском престоле сидит Антихрист. Он потратил на это немало сил, не стесняясь искажать Писание, но в конце концов его умение обращаться с цифрами позволило ему добиться своего. В результате родился трактат “Простое объяснение”, который Непер до самой смерти считал лучшим из своих трудов[132].
Впрочем, тот инструмент, который Кеплер назвал “чудесным изобретением” Непера, не имел ничего общего с религией. Логарифм – от греческого
Любой, кто хотел построить траектории движения небесных тел и составить карты звездного неба, полезные астрологам, астрономам и морякам, должен был исписать горы бумаги тригонометрическими расчетами. Измеряемые секстантом углы, а также их синусы и косинусы позволяли наносить на карту звезды и планеты, положение которых менялось, и прогнозировать их дальнейшее движение. Но в ходе этих расчетов приходилось перемножать, делить и возводить в квадрат и в куб огромное количество чисел. Непер понял, что люди теряют время зря, поскольку им приходится повторять эти манипуляции при каждом новом наблюдении. Даже если не учитывать, как выразился Непер, “утомительную трату времени”, существовала и другая проблема: люди часто допускали ошибки. “Я начал размышлять над тем, каким надежным и легким способом я мог бы устранить эти препятствия”[133], – отметил Непер в предисловии к опубликованной в 1614 году книге, в которой предложил решение проблемы. Книга вышла под довольно смелым названием
Непер пишет, что в книге содержатся “замечательные короткие правила” для экономии времени при умножении. Может, сами правила и были коротки, но выводились они долго. Неперу понадобилось целых два десятка лет, чтобы заполнить 10 миллионов ячеек в приведенных в книге таблицах. И все же работа того стоила. Кеплер, например, преисполнился такой благодарности ученому, что посвятил ему свои “Эфемериды” 1620 года, не зная, что создатель логарифма к тому времени уже умер.
Я пишу эти строки в марте 2020 года, когда в новостях только и говорят что о математике, у истоков которой стоял Джон Непер. Логарифмы, впрочем, упоминаются в них редко, зато очень часто речь идет о противоположных им экспонентах. Именно они определяют рост числа случаев заражения вирусом COVID-19 по всему миру. Построив график растущей динамики заболеваемости, вы увидите резко уходящую вверх “экспоненциальную кривую” – ту самую кривую, которую нам настойчиво рекомендуют “сглаживать”, принимая сдерживающие распространение вируса меры, например используя защитные маски и соблюдая дистанцию в общественных местах.
Слово “экспоненциальный” довольно часто встречается и вне контекста вирусной эпидемии. Обычно мы используем его, описывая очень быстрый, головокружительный рост. Как ни странно, у нас при этом нет интуитивного представления об экспоненциальной шкале. Когда нас просят спрогнозировать, как дальше пойдет рост, идущий по экспоненциальному закону, мы, как правило, существенно его недооцениваем. Дело в том, что мы чураемся крайностей и сглаживаем кривую роста в своем воображении, делая ее более или менее прямой.
В лекции, которую американский физик Альберт Аллен Бартлетт прочел не менее тысячи раз, содержится прекрасный пример обескураживающего характера экспоненциального роста[134]. Представьте, говорит он, что сейчас 11 утра. Он дает вам бутылку с одной бактерией и поясняет, что бактерии размножаются путем деления. Количество бактерий в вашей бутылке будет удваиваться каждую минуту, и бутылка окажется до краев заполненной бактериями уже через час.
ebooksa