Загадка падающей кошки и фундаментальная физика
Макдональд сумел проверить свою идею, высказанную в 1960 г., что человек тоже способен выполнять подобные кошачьи маневры. Как он отметил в последующей статье, «в результате работы по кошкам ко мне обратился мистер Уолли Орнер, отвечавший тогда за подготовку Брайана Фелпса, блестящего прыгуна в воду, выигравшего бронзу на последней Олимпиаде. Мы засняли несколько простых экспериментов, которые ясно показали, что мистер Фелпс вполне способен выполнить кручение в воздухе по крайней мере на 360° без всякой помощи от трамплина»{15}. Чтобы проверить, не имел ли Фелпс с самого начала ненулевой момент импульса, Макдональд попросил его просто прыгнуть с трамплина, а вертеться начинать только после громко поданной команды. Фелпс, в точности как кошка, сумел перевернуться на 360° примерно за полсекунды. В дополнительных экспериментах спортсмен имитировал кошку более точно: он повисал под трамплином в перевернутом (с точки зрения четвероногого) положении и пытался перевернуться уже после того, как отпускал руки и начинал падать; на приведенной иллюстрации вы можете видеть результат действий спортсмена. Судя по рисунку, Фелпс здесь выполняет алгоритм «сложись и крутись» Радемакера и тер Браака с добавлением более сложного маневра с наклоном вбок, описанного Кейном и Шером.
Макдональд не единственный, кто связал падающих кошек и акробатический спорт. В 1974 гг. Дж. Бистерфельдт теоретически рассуждал о том, что воздушные трюки гимнастов часто осуществляются при помощи того, что мы сегодня назвали бы алгоритмом «сложись и крутись». В 1979 г., когда Клифф Фролич попытался прояснить механизм, посредством которого прыгуны в воду выполняют в воздухе свои фигуры, падающая кошка служила ему иллюстративным примером, как и вертевшиеся в невесомости астронавты в работе Кейна и Шера. В 1993 г. М. Р. Идон при обсуждении выполнения кручений в воздухе во время сальто также вспомнил о кошке и привел ее в пример. В 1997 г. Хесус Дапенья попробовал разобраться с ролью кошачьих приемов в кручении спортсменов при прыжках в высоту{16}.
Несмотря на перечисленные примеры, было бы преувеличением сказать, что переворачивание кошки сыграло серьезную роль в изучении физики спорта; тем не менее оно помогло наглядно продемонстрировать замечательные возможности человеческого вращения. А наглядные демонстрации, очевидно, требуются до сих пор. Как отмечал Фролич в статье 1979 г.:
В последнее время всем аспирантам, постдокам и сотрудникам кафедры физики Корнеллского университета раздали опросник с конкретными вопросами и выбором ответов из нескольких вариантов на тему физической возможности выполнения некоторых трюков с сальто и кручениями… Тем не менее из 59 физиков, заполнивших опросник, 34 % неверно ответили на первый вопрос, а 56 % — на второй; это поразительно высокий процент ошибок для вопросов с выбором готовых вариантов ответа{17}.
Такая путаница в головах напоминает реакцию на первые фотографии падающей кошки Марея почти 100 лет назад. И в наше время ученые могут запутаться при виде сложной ситуации, даже такой, где задействованы только простые законы физики.
Итак, что мы имеем в плане понимания, как переворачивается кошка? Анализ свидетельств, с учетом всех имеющихся моделей, уверенно показывает, что основным механизмом переворачивания служит алгоритм «сложись и крутись» с небольшими дополнениями, предложенными в 1969 г. Кейном и Шером. Но данные указывают также, что кошка, вероятно, использует некоторую комбинацию из четырех описанных выше моделей. Никакие из этих вариантов не являются взаимоисключающими, и все они легко сочетаются между собой. Кошка может использовать алгоритм «сложись и крутись» и при этом вытягивать задние лапы и поджимать под себя передние, чтобы передняя часть тела быстрее поворачивалась вправо. Она может вращать хвостом в противоположную сторону, чтобы ускорить вращение передней части тела. А если кошка находится во вращении с самого начала, она может проделывать все это в дополнение к уже имеющемуся вращению.
Однако каждый случай индивидуален. Длинные тощие кошки, возможно, пользуются немного не такой стратегией переворачивания, как короткие и толстые, а некоторые кошки, возможно, вкладывают чуть больше энергии в тот или иной аспект переворачивания. Может быть, это индивидуальный стиль, а может, дело в необходимости. Мы уже видели, к примеру, что бесхвостые кошки вполне способны переворачиваться, но обычные кошки часто используют свои хвосты для ускорения процесса. Каждая кошка уникальна, и не стоит ожидать, что какие-то две кошки будут переворачиваться в точности одинаково.
12. Падающие кошки и фундаментальная физика
Однажды утром путешественник выходит из своего лагеря прогуляться. Он проходит один километр на юг, один — на восток и один — на север, что приводит его в точности обратно к лагерю. Заходя в палатку, он слышит какой-то шум, выглядывает наружу и видит медведя. Какого цвета медведь?
Несмотря на исследования, проводившиеся на протяжении более чем 300 лет истории физики, кошки до сих пор сохранили еще один удивительный секрет, имеющий отношение к их способности переворачиваться в нормальное положение. Задача кошачьего переворачивания, возможно, связана с концепцией, известной в физике как
Чтобы разобраться в концепции геометрической фазы, полезно начать с размышлений о движении на знакомой поверхности с нетривиальной геометрией — поверхности нашей собственной планеты. Цитата в начале главы — один из вариантов классической головоломки. У этой загадки существует два озадачивающих, но взаимосвязанных аспекта. Почему путешественник не проходит один километр на запад, чтобы замкнуть круг и вернуться в лагерь? И как цвет медведя может быть связан со всеми этими обстоятельствами?
Ответ: медведь белый. Это полярный медведь. Палатка, должно быть, стоит на Северном полюсе — в одной из двух точек на Земле, где сходятся все линии долготы — меридианы (вторая такая точка — Южный полюс). Стартовав с Северного полюса, человек, идущий на юг, затем на восток и затем на север, описывает в своем движении треугольник, верхней вершиной которого служит палатка.
Урок, который можно извлечь из этой головоломки, состоит в том, что геометрия сферы, такой как Земля, выглядит удивительно странной{1}. Линии широты и долготы, которые мы используем, чтобы определить местоположение на Земле, почти везде перпендикулярны друг другу; однако, поскольку эти линии нарисованы на сфере, существует две точки, где такое описание порождает путаницу, — Северный и Южный полюс. Кольцевые линии долготы, описывающие положение точки в координатах запад — восток, пересекаются на полюсах, а кольцевые же линии широты, описывающие положение в координатах север — юг, на полюсах сжимаются в точку. Геометрия сферы принципиально отличается от геометрии плоскости; любая попытка построить плоскость на сферической поверхности или наоборот столкнется с аналогичными проблемами. Вот почему плоские карты Земли показывают только «проекции», что неизбежно искажает формы и размеры земель возле краев карты. Знаменитая проекция Меркатора, к примеру, рисует Гренландию почти такой же большой, как Соединенные Штаты, а Антарктиду — как все остальные континенты, вместе взятые; это результат растягивания самого верха и самого низа сферы для получения плоской прямоугольной карты.
Геометрическая фаза — это изменение состояния системы, полностью обусловленное тем, что ее двигают вдоль поверхности необычной формы, такой как сфера. Один из примеров — экспонат, знакомый нам по многим научным музеям: массивный маятник, свободно висящий над центром диска, разграфленного подобно шкале компаса. Маятник Фуко, названный в честь своего создателя Леона Фуко, был представлен широкой публике в 1851 г. и до сих пор остается объектом общего интереса. Причина его популярности состоит в том, что он демонстрирует наглядно и просто, что Земля вращается. На первый взгляд кажется, что маятник качается туда и сюда вдоль линии, проходящей через центр круглой шкалы. Однако всякий, кто понаблюдает за движением маятника несколько минут, увидит, что направление движения маятника медленно меняется, поворачиваясь по диску в одну или другую сторону, подобно минутной стрелке часов.
Но сам маятник не меняет направления качания. На самом деле это Земля вращается под свободно висящим маятником. Если бы маятник Фуко висел на Северном полюсе, то за 24 часа направление его колебаний сделало бы полный оборот на 360° и к исходу суток вернулось в первоначальное состояние. Если бы вместо этого маятник висел на Южном полюсе, то направление его колебаний вращалось бы в противоположную сторону. Так что маятник Фуко — простой способ непосредственно
Леон Фуко, родившийся в Париже в 1819 г., никогда не мечтал стать ученым. Хотя уже в раннем возрасте у мальчика проявились склонности к механике, сам он стремился приобрести медицинскую профессию. Однако в какой-то момент Леон обнаружил, что не способен вынести вида крови, и резко изменил свои профессиональные устремления, решив стать физиком. Поначалу он работал лаборантом, но изобретательность и ум вскоре помогли ему получить признание в качестве экспериментатора.
Фуко наткнулся на идею маятника, занимаясь конструированием астрономического оборудования. Он тогда закрепил конец гибкого стального стержня на токарном станке так, что стержень встал параллельно оси вращения станка; таким образом Фуко, сам того не желая, вызвал вибрацию стержня. При этом он заметил, что стержень продолжал колебаться в одном и том же направлении, даже когда станок поворачивался. И тут его чудесным образом осенило, что любой свободно колеблющийся объект на Земле должен, аналогично стержню, колебаться независимо от вращения Земли. А маятник как устройство, при помощи которого можно проверить эту идею, был очевидным и естественным выбором{2}.
Поначалу Фуко устроил в подвале небольшой маятник из проволоки длиной 2 м и латунного шара весом 5 кг. Чтобы обеспечить прямолинейное движение маятника, без колебаний из стороны в сторону и эллиптического движения, он, все подготовив, оттянул груз от центральной позиции при помощи прочной нити. Если пережечь эту нить, маятник освободится и начнет раскачиваться. В нижней части шарообразного груза Фуко закрепил небольшую иглу, которая должна была чуть царапать землю под маятником и показывать таким образом даже небольшие изменения в направлении колебаний. Меньше чем через минуту после начала эксперимента он заметил, что направление колебаний маятника слегка, но уже заметно сместилось к западу, свидетельствуя, что Земля вращается на восток.
Период колебаний маятника растет с увеличением его длины; кроме того, более длинный маятник должен показывать большее смещение между взмахами, чем маятник покороче. К тому же движению более тяжелого маятника с меньшей вероятностью будут препятствовать воздушные течения или несовершенство подвески. Фуко хорошо все это знал, поэтому после первых домашних экспериментов устроил маятник длиной 11 м в Парижской обсерватории. Всего через два качания сдвиг влево был уже ясно виден. Осмелев, Фуко устроил свой самый большой маятник длиной 65 м под куполом парижского Пантеона. Это сооружение приобрело международную известность, хотя в Пантеоне оно пробыло только до 1855 г. В 1995 г. там же была установлена копия оригинального маятника, которая раскачивается до сих пор.
Изобретение Фуко стало мировой сенсацией. В Пантеон собирались толпы людей, жаждавших увидеть маятник в действии, и всего через несколько месяцев эксперимент был повторен в самых разных местах земного шара. Лекции маститых ученых собирали полные залы; люди готовы были часами сидеть и слушать их рассказы о физике. А после лекции они могли собственными глазами увидеть изменения в направлении колебаний маятника. Согласно публикации 1856 г., «по всему миру распространилась маятниковая мания; дошло до того, что монструозный маятник стал чуть ли не обязательной принадлежностью каждого респектабельного дома»{3}.